Order reduction of large thermal and electrical models with system-theoretic techniques and matrix equation algorithms

Abstract

Computer simulation of modern IC subsystems, like power grids, interconnect structures and substrate regions, possesses a fundamental role in the EDA industry. The electric models of the aforementioned systems are enormous, and their functional simulation requires solving systems of equations with dimension that can reach several millions or even billions. Model Order Reduction (MOR) techniques provide attractive ways to reduce these highly complex models, replacing them by models with much smaller internal dimensions whose behavior at the input/output ports approximates that of the original models. Balanced Truncation (BT) type MOR methods of internal states that are at the same time insufficiently controllable at the inputs and insufficiently observable at the outputs have the advantage of very reliable estimates for the accuracy of the reduced model. However, they have significant computational and storage costs for producing the reduced-order models, as they require the solution of Lyapunov matrix equations which is an intensive computational procedure, and also involve the storage of dense matrices, making them applicable only to models of few thousand states. To eliminate computational costs and storage needs, low-rank factorization methods have been developed that allow the use of these methods in real-world applications. The emphasis in the present work is given in circuit and thermal models derived from integrated circuits and the calculation of the reduced-order models on specific frequency or time windows, as well as on the efficient implementation of Balanced Truncation type methods. More specifically, in most applications the circuit is intended to operate only in specific frequency windows, which means that the reduced-order model can become unnecessarily large to achieve approximation over all frequencies. Correspondingly, for the thermal models there is usually a final time in which all thermal effects can be assumed to have reached steady state. The focus is on model order reduction methods in specific frequency or time windows, combined with the efficient implementation of sparse methods for calculating Lyapunov-type matrix equations in order to manipulate large-scale input models.

Η αριθμητική προσομοίωση των σύγχρονων υποσυστημάτων των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων, όπως τα ηλεκτρικά δίκτυα, οι αγωγοί διασύνδεσης και οι περιοχές υποστρώματος, έχουν θεμελιώδη σημασία για την βιομηχανία ολοκληρωμένων κυκλωμάτων. Τα ηλεκτρικά μοντέλα των προαναφερθέντων συστημάτων είναι τεράστια και η λειτουργική τους προσομοίωση απαιτεί την επίλυση συστημάτων εξισώσεων με διαστάσεις που μπορούν να φτάσουν αρκετά εκατομμύρια. Οι τεχνικές υποβιβασμού τάξης μοντέλου (model order reduction - MOR) παρέχουν ελκυστικούς τρόπους για τη μείωση αυτών των πολύπλοκων μοντέλων, αντικαθιστώντας τα με μοντέλα με πολύ μικρότερες εσωτερικές διαστάσεις των οποίων η συμπεριφορά στις θύρες εισόδου / εξόδου (ports) προσεγγίζει αυτή των αρχικών μοντέλων. Οι μέθοδοι MOR τύπου “εξισορρόπησης και αποκοπής” (Balanced Truncation - BT) των εσωτερικών καταστάσεων που είναι ταυτόχρονα μη επαρκώς ελέγξιμες από τις εισόδους και μη επαρκώς παρατηρήσιμες στις εξόδους, διαθέτουν το πλεονέκτημα των πολύ αξιόπιστων εκτιμήσεων για την ακρίβεια προσέγγισης του μειωμένου μοντέλου. Εμπεριέχουν, όμως, σημαντικό υπολογιστικό και αποθηκευτικό κόστος για την εξαγωγή των μειωμένων μοντέλων, καθώς απαιτούν την επίλυση δαπανηρών εξισώσεων πυκνών πινάκων τύπου Lyapunov, γεγονός που τις καθιστά άμεσα εφαρμόσιμες μόνο σε μοντέλα της τάξης λίγων χιλιάδων καταστάσεων. Για να απαλειφθεί το υπολογιστικό κόστος και οι ανάγκες αποθήκευσης, έχουν αναπτυχθεί μέθοδοι παραγοντοποίησης χαμηλού βαθμού (low-rank) που επιτρέπουν την χρήση αυτών των μεθόδων σε πραγματικές εφαρμογές. Η έμφαση στην παρούσα εργασία δίνεται σε κυκλωματικά και θερμικά μοντέλα που προκύπτουν από ολοκληρωμένα κυκλώματα και στον υπολογισμό του ελαττωμένου μοντέλου σε συγκεκριμένα παράθυρα συχνοτήτων ή χρόνου, καθώς και στην αποδοτική υλοποίηση μεθόδων τύπου Balanced Truncation. Στις περισσότερες εφαρμογές το κύκλωμα προορίζεται να λειτουργεί μόνο σε συγκεκριμένα παράθυρα συχνοτήτων, πράγμα που σημαίνει ότι το το μοντέλο μειωμένης τάξης μπορεί να γίνει άσκοπα μεγάλο για να επιτευχθεί προσέγγιση σε όλες τις συχνότητες. Αντίστοιχα στα θερμικά μοντέλα υπάρχει συνήθως ένας τελικός χρόνος κατά τον οποίο όλες οι θερμικές επιδράσεις μπορούν να θεωρηθούν ότι έχουν φθάσει σε σταθερή κατάσταση. Η εστίαση δίνεται σε μεθόδους υποβιβασμού τάξης μοντέλου σε συγκεκριμένα παράθυρα συχνοτήτων ή χρόνου, σε συνδυασμό με την αποδοτική υλοποίησης αραιών μεθόδων για τον υπολογισμό των εξισώσεων πινάκων τύπου Lyapunov με σκοπό τον χειρισμό μεγάλων μοντέλων εισόδου.