Έκρηξη λύσεων σε μη-τοπικά και εκφυλισμένα προβλήματα διήθησης και πορωδών μέσων

Abstract

We study the following Initial-Boundary Non-Local problem, with Nonlinear Diffusion (Filtration): where , boundary domain in , , with smooth enough boundary . Initial conditions , with compact support in the domain , non negative and non identical zero. and are real functions, positive, increasing and convex, for . If the parabolic operator becomes degenerate for , and if , we have solution with expended in time support. So, we consider generalizedsolutions (very weak solutions). We define the notion of Blow-up of solutions in finite time. In Chapter 2 we give the definition of the Lower-Upper solution pairs. Moreover we give the definition of Steklov averages for a function. In Chapter 4 we prove blow-up in finite time of the solutions for the Neumann problem, for every and for all . The same holds for the Dirichlet or Robin problems, (when the domain is convex), either for large enough and for all or for big enough initial conditions , independently of the value of parameter . We suppose some conditions between and . In Chapter 5 we discus about the finite speed of propagation for the support of the solution, for the degenerate Non-Local Filtration problem. In Chapter 7 we study the stability of solutions for the stable Non-Local Filtration problem, when the bifurcation diagram is bounded and turns to the left. In Chapter 8 we prove finite time blow-up for the Local Filtration problem, under some conditions between and and appropriate initial data, when . In Chapter 9 we prove finite time blow-up for the solutions for the Non-Local diffusion problem, for appropriate initial data, when . In Chapter 10 we prove finite time blow-up for the solutions for the Non-Local Filtration problem, under some conditions between and and appropriate initial data, when . Finally, in the rest of the chapters, we develop methods which are used in the above chapters.

Μελετούμε το μη-τοπικό πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών με μη γραμμική διάχυση (Διήθηση): όπου, , φραγμένος τόπος του , , με αρκούντως λείο σύνορο . Αρχικές συνθήκες , με συμπαγή φορέα εντός του πεδίου , μη αρνητικές, όχι ταυτοτικά μηδέν. και είναι πραγματικές συναρτήσεις, θετικές, αύξουσες και κυρτές, για . Εάν έχουμε εκφυλισμό του παραβολικού τελεστή για , και εάν , έχουμε λύση με χρονικά επεκτεινόμενο φορέα. Θεωρούμε γενικευμένες λύσεις (πολύ ασθενείς λύσεις). Ορίζουμε την έννοια της έκρηξης της λύσης σε πεπερασμένο χρόνο. Στο Κεφάλαιο 2 δίνουμε τον ορισμό για τα πάνω - κάτω ζεύγη λύσεων. Επίσης ορίζουμε τους μέσους όρους Steklov για μία συνάρτηση. Στο Κεφάλαιο 4 αποδεικνύουμε έκρηξη για το πρόβλημα Neumann για κάθε και για όλα τα . Επίσης για τα προβλήματα Dirichlet ή Robin, (όταν το πεδίο είναι κυρτό), είτε για αρκούντως μεγάλα και για όλα τα είτε για αρκούντως μεγάλες αρχικές συνθήκες ανεξάρτητα με την τιμή της παραμέτρου . Υποθέτουμε κάποιες συνθήκες μεταξύ των και . Στο Κεφάλαιο 5 εξετάζουμε το φαινόμενο της πεπερασμένης ταχύτητας διάδοσης της διαταραχής για το εκφυλισμένο μη-τοπικό πρόβλημα Διήθησης. Στο Κεφάλαιο 7 μελετούμε την ευστάθεια των λύσεων του στάσιμου μη-τοπικού προβλήματος Διήθησης, όταν το διάγραμμα διακλάδωσης είναι κλειστό από δεξιά. Στο Κεφάλαιο 8 αποδεικνύουμε έκρηξη για το τοπικό πρόβλημα Διήθησης, υπό ορισμένες συνθήκες μεταξύ και και κατάλληλα αρχικά δεδομένα, όταν . Στο Κεφάλαιο 9 και για το μη-τοπικό πρόβλημα γραμμικής διάχυσης, αποδεικνύουμε έκρηξη της λύσης υπό κατάλληλες αρχικές συνθήκες, όταν . Στο Κεφάλαιο 10 και για το μη-τοπικό πρόβλημα Διήθησης, αποδεικνύουμε έκρηξη της λύσης σε πεπερασμένο χρόνο για , υπό ορισμένες συνθήκες μεταξύ και και κατάλληλα αρχικά δεδομένα. Τέλος, στα υπόλοιπα κεφάλαια αναπτύσσονται τεχνικές που χρησιμοποιούνται στα ανωτέρω κεφάλαια.