Ασυνεχείς - υβριδικές μέθοδοι collocation για προβλήματα πολλαπλών πεδίων

Abstract

The present thesis studies the development of high order numerical methods for the solution of generalized multi-domain non linear Differential Equations in 1+1 and 2+1 dimensions. Firstly, a family of generalized Multi-Domain non linear Initial Boundary Value Problem (MD-IBVP) is introduced in the case of problems in 1+1 and 2+1 dimensions. A noteworthy problem that belongs to the above family of MD-IBVP is the model of the brain tumor growth. In this work, two different models of brain tumor are being studied, both of which simulate the evolution and the infiltration of cancer cells in Grey and White Matter, combined with appropriate treatment, radiotherapy and chemotherapy schemes. Moreover, the generalized non linear Biological Invasion models Fisher and Kolmogorov-Piskunov-Petrovskii for homogeneous enviroments, as well as the generalized Burgers-Huxley equation for heterogeneous enviroments, were developed. For the numerical treatment of the above MD-IBVP the derivative Discontinuous Hermite Collocation (dDHC) as well as two Hybrid Collocation methods with continuous Hermite cubics were developed. The new Hermite cubics with partial continuous first derivative are being introduced, which yield 4th order approximations of the solution in every sub-domain and on the interface points. In the first Hybrid Collocation Method a cubic polynomial was used to handle the discontinuity of the diffusion coefficient among the separate sub-domains, while in the second Hybrid Collocation Method the Hermite Collocation method and the Two Step Ave Relaxation scheme were combined. Both Hybrid Methods offer high order approximations, while Hybrid Collocation Method with the cubic polynomial, was also extended to complex geometry problems in 2+1 dimensions. Finally, the above Collocation Methods were combined with high order Diagonally Implicit, Strong Stability Preserving and Implicit Explicit Runge-Kutta schemes. The stability and the behaviour of the above methods was assessed through several numerical experiments.

Στην παρούσα διατριβή, μελετάται η ανάπτυξη αριθμητικών μεθόδων υψηλής τάξης για την επίλυση γενικότερων μη γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων για προβλήματα σε Πολλαπλά Πεδία στις 1+1 και στις 2+1 διαστάσεις. Αρχικά, αναπτύσσεται μία οικογένεια γενικευμένων μη γραμμικών Προβλημάτων Αρχικών και Συνοριακών Συνθηκών Πολλαπλών Πεδίων (ΠΑΣΣ-ΠΠ) για προβλήματα στις 1+1 και στις 2+1 διαστάσεις. Το μοντέλο διάχυσης καρκινικού όγκου στον εγκέφαλο αποτελεί μια ειδική περίπτωση εξίσωσης πολλαπλών πεδίων, η οποία ανήκει στην παραπάνω οικογένεια ΠΑΣΣ-ΠΠ. Στην παρούσα διατριβή, ερευνώνται δύο μοντέλα διάχυσης γλοιώματος στον εγκέφαλο, τα οποία προσεγγίζουν την εξέλιξη και τη διήθηση των καρκινικών κυττάρων στη Φαιά και τη Λευκή ουσία του εγκεφάλου, σε συνδυασμό με την εφαρμογή σύγχρονων θεραπευτικών σχημάτων ακτινοθεραπείας-χημειοθεραπείας. Παράλληλα με την ιατρική εφαρμογή των ΠΑΣΣ-ΠΠ, αναπτύσσονται τα γενικευμένα μη γραμμικά μοντέλα βιολογικής εισβολής Fisher και Kolmogorov-Piskunov-Petrovskii σε ομοιογενές περιβάλλον, καθώς και μια γενικευμένη Burgers-Huxley για προβλήματα με ανομοιογενές περιβάλλον. Για την αριθμητική επίλυση των παραπάνω ΠΑΣΣ-ΠΠ, αναπτύσσεται η μέθοδος derivative Discontinuous Hermite Collocation (dDHC) καθώς και δύο Υβριδικές μέθοδοι Collocation με συνεχή κυβικά πολυώνυμα Hermite. Για την ανάπτυξη της dDHC εισάγονται τα νέα πολυώνυμα Hermite με τμηματικά συνεχή πρώτη παράγωγο, τα οποία παράγουν προσεγγίσεις τέταρτης τάξης σε κάθε υπο-χωρίο καθώς και στα σημεία διεπαφής. Για την ανάπτυξη της πρώτης Υβριδικής μεθόδου Collocation, χρησιμοποιήθηκε ένας κυβικός συνεχής συντελεστής διάχυσης ώστε να προσεγγισθεί η ασυνέχεια του συντελεστή διάχυσης μεταξύ των διαφορετικών περιοχών, ενώ στη δεύτερη Υβριδική μέθοδο, συνδυάστηκε η Hermite Collocation με το σχήμα χαλάρωσης διεπαφών Two Step Ave Relaxation. Και οι δύο Υβριδικές μέθοδοι Collocation προσεγγίζουν με υψηλή ακρίβεια τη λύση της dDHC ενώ η Υβριδική μέθοδος με τον κυβικό συντελεστή επεκτάθηκε και σε προβλήματα 2+1 διαστάσεων με πολυπλοκότερη γεωμετρία. Για τη χρονική διακριτοποίηση μελετήθηκε ο συνδυασμός των παραπάνω μεθόδων Collocation με χρονικά σχήματα Diagonally Implicit, Strong Stability Preserving και Implicit Explicit Runge-Kutta υψηλής τάξης. Η ευστάθεια και η συμπεριφορά των μεθόδων επαληθεύτηκαν έπειτα από αρκετά αριθμητικά πειράματα.