Τεχνικές της περιγραφικής θεωρίας συνόλων σε θεωρήματα επιλογής για συνολοσυναρτήσεις

Abstract

The aim of this dissertation is the application of methods of Descriptive Set Theory in selection theorems for multivalued maps. By means of recursive constructions on trees: 1) we introduce a unified approach for proving continuous and measurable selection theorems, as well as a selection theorem for hyperspaces, 2) we extend Michael's compact-valued selection theorem, in order to study the hyperspace of compact subsets equipped with the lower Vietoris topology, 3) we generalize Michael's convex-valued selection theorem. Moreover, we show that this generalization can give as special cases a simultaneous selection theorem and a Dugundji extension theorem. Finally, by combining known methods and a simultaneous selection theorem, we generalize Milutin's and Etcheberry's classical isomorphism theorems for spaces of continuous vector-valued functions equipped with various topologies.

Ο σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η εφαρμογή τεχνικών της Περιγραφικής Θεωρίας Συνόλων σε θεωρήματα επιλογής για συνολοσυναρτήσεις. Με βασικό εργαλείο τις αναδρομικές κατασκευές πάνω σε δέντρα: 1) παρουσιάζουμε μια εννιαία μέθοδο απόδειξης θεωρημάτων συνεχούς επιλογής, μετρήσιμης επιλογής και επιλογής για υπερχώρους, 2) επεκτείνουμε το θεώρημα επιλογής συμπαγών τιμών του Michael, προκειμένου να μελετήσουμε τον χώρο των συμπαγών υποσυνόλων με την κάτω Vietoris τοπολογία, 3) γενικεύουμε το πιο γνωστό θεώρημα επιλογής του Michael. Επιπλέον, δείχνουμε ότι αυτή η γενίκευση μπορεί να εξειδικευτεί σε ένα θεώρημα σύγχρονης επιλογής και σε ένα θεώρημα επέκτασης τύπου Dugundji. Τέλος, συνδυάζοντας το θεώρημα σύγχρονης επιλογής μαζί με γνωστές τεχνικές, γενικεύουμε τα κλασικά θεωρήματα ισομορφισμού του Milutin και του Etcheberry για χώρους συνεχών διανυσματικών συναρτήσεων εφοδιασμένους με διάφορες τοπολογίες.