Ομογενείς και διπλά ομογενείς γεωδαισιακές καμπύλες σε ομογενείς πολλαπλότητες

Abstract

The subject of the present thesis is the study of geodesic curves in homogeneous spaces. The problem of determining the form of the geodesic curves in a pseudo-Riemannian manifold is an interesting and in general hard one, and usually reduces to either the solving of a certain system of differential equations or to the application of variational calculus. However in the case of homogeneous spaces G/H we address the problem as follows: We consider specific forms of curves and then we search for those G-invariant pseudo-metrics < , > such that the geodesic curves in (G/H,< , >) admit the above forms. This approach is favored by the fact that the geometry of a homogeneous space is invariant at any point in G/H, therefore the geodesic curves admit the same form at any point in G/H. Thus, the study of geodesic curves is largely reduced to the structural and the representation theory of Lie groups and algebras, as well as the study of Lie group actions on manifolds}.The main research regarding geodesics in homogeneous manifolds focuses on those geodesics which are orbits of one-parameter subgroups of G, under the action of G on G/H, namely homogeneous geodesics. The class of geodesic orbit spaces, i.e. spaces all of whose geodesics are homogeneous, constitute an important natural generalization of summetric spaces with important extensions to physics as well as other fields, such as computer science. Our contribution to the already rich bibliography, involves the study of Riemannian geodesic orbit metrics in compact spaces G/H, such that the isotropy representation of H on the tangent space T(G/H) contains equivalent submodules, which is a unique approach to the problem. By applying our results, we determine the geodesic orbit metrics in real and complex Stiefel manifolds.Moreover, we introduce the notion of an n-step homogeneous geodesic, which is defined as the geodesic orbit of the product of n one-parameter subgroups of G, under the action of G on G/H. In particular, an n-step homogeneous geodesic γ has the formγ(t)=exp(tX_1)exp(tX_2)...exp(tX_n).p,\where X_1,...,X_n are vectors in the Lie algebra of G. For n=2, we prove a general algebraic condition of existence of two-step homogeneous geodesics, and we obtain a wide class of homogeneous spaces all of whose geodesics are two-step homogeneous. These spaces are given as total spaces of a homogeneous fibration G/H--> G/K-->K/H with H< K< G. As a result, we prove that every non-symmetric flag manifold G/H admits at least l different metrics with two-step homogeneous geodesics, where l is the dimension of the center of H. Finally, we investigate the existence of metrics with three-step homogeneous geodesics in generalized Wallach spaces.

Το γενικό θέμα της παρούσας διατριβής είναι η μελέτη γεωδαισιακών καμπυλών σε ομογενείς χώρους. Η εύρεση της μορφής των γεωδαισιακών καμπυλών σε μια ψευδορημάννεια πολλαπλότητα αποτελεί ένα ενδιαφέρον και εν γένει δύσκολο πρόβλημα που συνήθως ανάγεται είτε στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων, είτε σε εφαρμογή του λογισμού μεταβολών. Στην περίπτωση όμως των ομογενών χώρων G/H η προσέγγιση που ακολουθούμε είναι να θεωρήσουμε συγκεκριμένες μορφές καμπυλών και κατόπιν να αναζητήσουμε τις G-αναλλοίωτες ψευδομετρικές &lt; , &gt;, έτσι ώστε οι γεωδαισιακές καμπύλες στον (G/H, &lt; , &gt;) να έχουν τις αντίστοιχες μορφές. Η προσέγγιση αυτή ευνοείται από το γεγονός ότι η γεωμετρία ενός ομογενούς χώρου G/H είναι αναλλοίωτη σε κάθε σημείο του G/H, συνεπώς οι γεωδαισιακές καμπύλες έχουν επίσης αναλλοίωτη μορφή. Έτσι, η μελέτη των γεωδαισιακών καμπυλών ανάγεται σε μεγάλο βαθμό στη δομική θεωρία και τη θεωρία αναπαραστάσεων των ομάδων και των αλγεβρών Lie, καθώς επίσης και στη μελέτη της δράσης ομάδων Lie σε πολλαπλότητες. Η κυριότερη έρευνα προς αυτή την κατεύθυνση επικεντρώνεται στις γεωδαισιακές καμπύλες που αποτελούν τροχιές μοναπαραμετρικών υποομάδων της G, μέσω της δράσης της G στον G/H, τις λεγόμενες ομογενείς γεωδαισιακές. Μια ομογενής γεωδαισιακή καμπύλη γ έχει τη μορφή γ(t)=exp(tX).p, όπου X είναι ένα διάνυσμα στην άλγεβα Lie της ομάδας G, p σημείο του G/H, και με ''.'' συμβολίζουμε την δράση της G στον G/H. Οι χώροι γεωδαισιακών τροχιών, δηλαδή χώροι των οποίων όλες οι γεωδαισιακές είναι ομογενείς, προκύπτουν ως μια σημαντική φυσική γενίκευση των συμμετρικών χώρων με ενδιαφέρουσες προεκτάσεις στη Φυσική αλλά και σε άλλους κλάδους, όπως την επιστήμη των υπολογιστών. Η συνεισφορά μας στην ήδη πλούσια βιβλιογραφία, περιλαμβάνει την μελέτη των μετρικών γεωδαισιακών τροχιών Riemann σε συμπαγείς ομογενείς χώρους G/H, τέτοιους ώστε η ισοτροπική αναπαράσταση της H στον εφαπτόμενο χώρο T(G/H) na περιέχει ισοδύναμα αναλλοίωτα υποπρότυπα, κάτι το οποίο δεν είχε προηγουμένως μελετηθεί υπό αυτή τη σκοπιά. Εφαρμόζοντας τα αποτελέσματά μας, προσδιορίζουμε τις μετρικές γεωδαισιακών τροχιών στις πραγματικές και μιγαδικές πολλαπλότητες Stiefel.Παράλληλα, εισάγουμε την έννοια της πολλαπλά ομογενούς γεωδαισιακής, που δίνεται ως τροχιά του γινομένου ενός πεπερασμένου πλήθος μονοπαραμετρικών υποομάδων της G, μέσω της δράσης της G στον G/H. Δηλαδή μια τέτοια γεωδαισιακή γ έχει τη μορφή γ(t)=exp(tX_1)exp(tX_2)... exp(tX_n). pόπου τα X_1,...,X_n είναι διανύσματα στην άλγεβρα Lie της G. Στην περίπτωση των δύο εκθετικών παραγόντων, βρίσκουμε μια γενική αλγεβρική συνθήκη ύπαρξης διπλά ομογενών γεωδαισιακών, και αποκτούμε μια ευρεία κλάση ψευδορημάννειων ομογενών χώρων των οποίων όλες οι γεωδαισιακές είναι διπλά ομογενείς. Αυτοί δίνονται ως ολικοί χώροι μιας ομογενούς νηματοποίησης G/H--> G/K--> K/H με H&lt;K&lt;G. Ως αποτέλεσμα, αποδεικνύουμε ότι κάθε μη συμμετρική πολλαπλότητα σημαιών G/H επιδέχεται τουλάχιστον l μετρικές διπλά γεωδαισιακών τροχιών, όπου l είναι η διάσταση του κέντρου της ομάδας H. Τέλος, εξετάζουμε την ύπαρξη μετρικών τριπλά γεωδαισιακών τροχιών σε γενικευμένους χώρους Wallach.