Obstruction to isometric immersions

Abstract

The present thesis is divided into two parts:In the first part, (Chapters 2, 3 and 4) we provide integral curvature bounds interms of the Betti numbers for compact submanifolds of the Euclidean space withlow codimension. As a consequence,(i) We determine the homology of almost conformally flat hypersurfaces in spaceforms.(ii) We provide a necessary condition for a compact Riemannian manifold to admitan isometric minimal immersion as a hypersurface in the round sphere.(iii) We extend a result due to Shiohama and Xu [58] for compact hypersurfacesin any space form.(iv) We obtain topological obstructions for δ-pinched immersions.(v) We obtain intrinsic obstructions for compact minimal submanifolds in sphereswith pinched second fundamental form.In the second part (Chapter 5), we deal with the classification problem of Einsteinsubmanifolds with flat normal bundle in space forms. In particular, we provethat such submanifolds are (at least locally) holonomic. As an application, whenassuming that the index of relative nullity of the immersion is a positive constantwe conclude that the submanifold has the structure of a generalized cylinder overa submanifold with flat normal bundle. Moreover, we provide a complete classificationfor such submanifolds, under the additional hypothesis that the meancurvature vector field is also parallel in the normal connection.

Η παρούσα διατριβή χωρίζεται σε δύο μέρη:Στο πρώτο μέρος, (Κεφάλαια 2, 3 και 4) αποδεικνύουμε φράγματα, που εξαρτώνται από τους αριθμούς Betti, για ολοκληρωτικές καμπυλότητες συμπαγών υποπολυπτυγμάτων του Ευκλειδείου χώρου, με χαμηλή συνδιάσταση. Ως συνέπεια,(i) Υπολογίζουμε την ομολογία των σχεδόν σύμμορφα ισόπεδων (almost conformallyflat) υπερεπιφανειών σε πλήρη και απλά συνεκτικά πολυπτύγματα Riemann,με σταθερή καμπυλότητα τομής (χώροι μορφής).(ii) Αποδεικνύουμε μια αναγκαία συνθήκη έτσι ώστε ένα συμπαγές πολύπτυγμα Riemannνα επιδέχεται ελαχιστική ισομετρική εμβάπτιση ως υπερεπιφάνεια στη σφαίρα.(iii) Επεκτείνουμε ένα αποτέλεσμα των Shiohama και Xu [58] για συμπαγείς υπερεπιφάνειες σε χώρους μορφής.(iv) Δίνουμε τοπολογικούς περιορισμούς για δ-pinched εμβαπτίσεις.(v) Δίνουμε εσωτερικούς περιορισμούς για συμπαγή ελαχιστικά υποπολυπτύγματα της σφαίρας με pinched δεύτερη θεμελιώδη μορφή.Στο δεύτερο μέρος (Κεφάλαιο 5), ασχολούμαστε με το πρόβλημα της ταξινόμησης των υποπολυπτυγμάτων Einstein με ισόπεδη κάθετη δέσμη σε χώρους μορφής. Συγκεκριμένα,αποδεικνύουμε ότι τέτοια υποπολυπτύγματα είναι (τουλάχιστον τοπικά) holonomic.Ως εφαρμογή, κάτω από την υπόθεση ότι ο δείκτης μηδενοκατανομής (relativenullity) της εμβάπτισης είναι θετική σταθερά, συμπεραίνουμε ότι το υποπολύπτυγμα έχει τη δομή γενικευμένου κύλινδρου επί ενός υποπολυπτύγματος με ισόπεδη κάθετη δέσμη. Τέλος, δίνουμε ταξινόμηση των ανωτέρω υποπολυπτυγμάτων υπό την επιπλέον συνθήκη ότι το διανυσματικό πεδίο μέσης καμπυλότητας είναι παράλληλο ως προς την κάθετη συνοχή.