Παραστάσεις συμπληρούμενων τοπολογικών αλγεβρών

Abstract

The (Hilbert space) representation theory of algebraic structures equipped with compatible topologies is one of the most important problems in Functional Analysis. The main object of the present treatise is the representation theory in the context of certain (left) complemented (no-normed) topological algebras. To face this problem, we introduce, through continuous projections, the notion of a fundamental (left, right) complemented (topological) algebra . In this context, the notion of a - convergent net of minimal closed left (right) ideals is defined, and then employing the axially closed elements of E, we define a kind of continuity of the complementor that helps to state a theory of representation. We also introduce the notion of a fundamental complemented linear space . Τhe notion “fundamental”, of an appropriate complemented algebra, can be gained by linear subspaces of axially form, while the topological zero devisors is an important tool to state a kind of inverse of it. We also give applications of a theorem by S. Kakutani and G.M. Mackey and a kind of a partial generalization of the latter, which in turn, is applied to the representation theory of certain left complemented algebras. The notion of semi-linearity constitutes a prerequisite in defining the automorphically perfect pairs, through which the existence of inner products is succeeded, and with the help of them, certain quasi-complemented linear spaces become pro-Hilbert ones. Moreover, via an auto-morphically perfect pair, for a minimal closed one-sided ideal of a topologically simple, left complemented locally m-convex algebra, the latter is continuously representable on an inner product space. Also, the automorphically perfect pairs contribute to get (algebra-topological) complementarity of an appropriate subalgebra of the algebra of continuous linear operators on an “axially ideal”. In that way, we are able to face the problem in what extent, through axially substructures of a complemented topological algebra E, one can get complementation of subalgebras of the algebra of linear operators on a such substructure. The problem of the existence of (Hilbert space) representations of an algebraic-topological structure E, is sometimes taken through induced representations. In the sense that, from a representation of a substructure of E, a respective representation is defined on E. This fact takes on a special importance for the cases in which there are representable substructures. In analogy, and having as a tool the Arens-Michael decomposition, a certain left complemented locally m-convex algebra is continuously representable on a Hilbert space. This is done via a representation of a certain factor of the aforementioned decomposition. The advantage here is that we get some important information relative to the relationships between the complementor and that of the orthogonal one (induced by the inner product of the Hilbert space). The problem of representations, in the framework of Hausdorff left quasi-complemented locally m-convex algebras, is also faced. Furthermore, some thoughts are made for possible representations, via Hilbert spaces, of complemented topological algebras through sums of representations of their minimal closed two-sided ideals. To that direction, a first attempt leaded to independent results, as for instance, every locally C*-algebra with a kind of complementation of its maximal closed one-sided ideals is finally, annihilator and dual. This information leads to the second Wedderburn structure theorem for certain left precomplemented locally C*-algebras, that seems to be an appropriate key to face the aforementioned questioning. Besides, we get some results of algebraic-topological identifications of topological algebras expressible as sums of minimal closed two-sided ideals, a fact that leads to an isometric *-isomorphic presentation of certain precomplemented involutive topological algebras. Here, the minimal closed two-sided ideals do not exhaust necessarily, all the ideals of this form. These information, may lead, in turn, in (Hilbert space) representations of this type of topological algebras.

Η θεωρία (ανα)παραστάσεων, μέσω χώρων Hilbert, αλγεβρικών δομών με συμβιβαστές τοπολογίες είναι ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα της Συναρτησιακής Ανάλυσης. Στόχος της παρούσας διατριβής είναι η θεωρία (ανα)παραστάσεων στο πλαίσιο κατάλληλων (αριστερά) συμπληρούμενων (μη-νορμαρισμένων) τοπολογικών αλγεβρών. Για το λόγο αυτό εισάγεται η έννοια της θεμελιώδους (αριστερά, δεξιά) συμπληρούμενης (τοπολογικής) άλγεβρας μέσω των συνεχών προβολών. Σε αυτό το πλαίσιο, ορίζεται η έννοια του -συγκλίνοντος δικτύου ελάχιστων κλειστών αριστερών (δεξιών) ιδεωδών και στη συνέχεια, μέσω των αξονικά κλειστών στοιχείων της E, ορίζεται ένα είδος συνέχειας της συμπληρούσας απεικόνισης η οποία βοηθά στη διατύπωση μίας θεωρίας αναπαραστάσεων. Επίσης, εισάγεται η έννοια του θεμελιώδους συμπληρούμενου γραμμικού χώρου Η ιδιότητα “θεμελιώδης” κληρονομείται από κατάλληλη συμπληρούμενη άλγεβρα σε διανυσματικούς υπόχωρους αξονικής μορφής, ενώ η έννοια του τοπολογικού διαιρέτη του μηδενός είναι σημαντικό εργαλείο στη διατύπωση ενός είδους αντίστροφου αυτού. Επίσης, δίνονται εφαρμογές ενός θεωρήματος των S. Kakutani και G.W. Mackey και ένα είδος μερικής επέκτασής του, που με τη σειρά του, εφαρμόζεται στη θεωρία αναπαραστάσεων κατάλληλων αριστερά συμπληρού-μενων αλγεβρών. Η έννοια της ημιγραμμικότητας αποτελεί προϋπόθεση στον ορισμό των αυτομορφικά τέλειων ζευγών, μέσω των οποίων εξασφαλίζεται η ύπαρξη εσωτερικών γινομένων, ως προς τα οποία, κατάλληλοι ψευδο-συμπληρούμενοι διανυσματικοί χώροι γίνονται προ-Hilbert χώροι. Επιπλέον, μέσω του αυτομορφικά τέλειου ζεύγους, για ένα ελάχιστο κλειστό μονόπλευρο ιδεώδες μιας τοπολογικά απλής, αριστερά συμπληρούμενης τοπικά m-κυρτής άλγεβρας, επιτυγχάνεται για την τελευταία μία συνεχής αναπαράσταση επί ενός χώρου με εσωτερικό γινόμενο. Επίσης, τα αυτομορφικά τέλεια ζεύγη συμβάλουν στο να γίνει συμπληρούμενη μία κατάλληλη υπάλγεβρα της άλγεβρας των συνεχών γραμμικών τελεστών επί ενός “αξονικού ιδεώδους”. Έτσι, αντιμετωπίστηκε το πρόβλημα του κατά πόσο, μέσω αξονικών υποδομών μιας συμπληρούμενης τοπολογικής άλγεβρας μπορεί να εξασφαλιστεί συμπληρωματικότητα υπαλγεβρών της άλγεβρας των γραμμικών τελεστών επί μιας τέτοιας υποδομής. Το πρόβλημα ύπαρξης αναπαραστάσεων μιας αλγεβροτοπολογικής δομής επί ενός χώρου Hilbert, αντιμετωπίζεται ενίοτε μέσω επαγόμενων αναπαραστάσεων. Με την έννοια ότι, από μία αναπαράσταση μιας υποδομής της ορίζεται αντίστοιχη αναπαράσταση της Το γεγονός αυτό αποκτά ιδιαίτερη σημασία στις περιπτώσεις που υπάρχουν αναπαραστάσιμες υποδομές. Με ανάλογο τρόπο, και έχοντας ως εργαλείο την ανάλυση Arens-Michael, κατάλληλη αριστερά συμπληρούμενη τοπικά m–κυρτή άλγεβρα αναπαρίσταται συνεχώς επί ενός χώρου Hilbert. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω μιας αναπαράστασης ειδικού παράγοντα της ανάλυσης Arens-Michael. Το πλεονέκτημα εδώ είναι ότι έχουμε σημαντικές πληροφορίες για τις σχέσεις μεταξύ της συμπληρούσας απεικόνισης και του ορθογωνίου συμπληρώματος (που επάγει το εσωτερικό γινόμενο του χώρου Hilbert). To πρόβλημα αναπαραστάσεων Hausdorff αριστερά ψευδο-συμπληρούμενων τοπικά m-κυρτών αλγεβρών αντιμετωπίζεται επίσης. Επιπλέον, γίνονται κάποιες σκέψεις για πιθανές αναπαραστάσεις, επί χώρων Hilbert, συμπληρούμενων τοπολογικών αλγεβρών μέσω αθροισμάτων αναπαραστάσεων των ελάχιστων κλειστών δίπλευρων ιδεωδών τους. Προς αυτή την κατεύθυνση, έγινε μία πρώτη προσέγγιση που οδήγησε σε ανεξάρτητα αποτελέσματα, όπως για παράδειγμα, κάθε τοπικά -άλγεβρα με ένα είδος συμπληρωματικότητας των μέγιστων κλειστών μονόπλευρων ιδεωδών της είναι τελικά, μηδενιστική και δυϊκή. Αυτή η πληροφορία οδηγεί στο δεύτερο θεώρημα δομής Wedderburn για κατάλληλες αριστερά προσυμπληρούμενες τοπικά -άλγεβρες, που φαίνεται να είναι πληροφορία κλειδί για τον παραπάνω προβληματισμό. Εξάλλου, προέκυψαν και αποτελέσματα αλγεβροτοπολογικών ταυτίσεων τοπολογικών αλγεβρών που εκφράζονται ως αθροίσματα ελάχιστων κλειστών δίπλευρων ιδεωδών, γεγονός που οδηγεί σε μια ισομετρική -ισομορφική “παράσταση” κατάλληλων προσυμπληρούμενων ενελικτικών τοπολογικών αλγεβρών. Εδώ, τα ελάχιστα κλειστά δίπλευρα ιδεώδη δεν εξαντλούν κατ’ ανάγκη όλα τα ιδεώδη αυτής της μορφής. Οι πληροφορίες αυτές, με τη σειρά τους, ενδεχομένως να οδηγήσουν σε αναπαραστάσεις, μέσω χώρων Hilbert, των εν λόγω τοπολογικών αλγεβρών.