Εργοδική θεωρία Ramsey και εφαρμογές

Abstract

The main topic of this PhD thesis is Ramsey theory, which is extending, as well as its applications in Functional Analysis and in theory of topological dynamical systems.Central concept is the concept of coideal. Precisely, via the concept of a coideal on an infinite directed set, we extend the classical Ramsey theory, and in addition our theory includes as particular cases, (a) the corresponding theory for coideals on the set of natural numbers proved by Louveau, Mathias, Farah and Todorcevic, (b) the Milliken-Taylor partition theorems for sequences of finite non empty subsets of natural numbers, and (c) the partition theorems for sequences of words proved by Carlson, Bergelson-Blass-Hindman, Farmaki.In the sequel, via the concept of a coideal on the set of natural numbers, we establish an extension of the fundamental Rosenthal's l_1-dichotomy theorem.Finally, we prove recurrence and multiple recurrence results for topological dynamical systems indexed by an arbitrary directed partial semigroup with respect to a coideal.Our theory includes recurrence and multiple recurrence results for topological dynamical systems, indexed by natural numbers, or by finite non empty subsets of natural numbers, proved by Furstenberg and Weiss, and analogous results for topological dynamical systems indexed by words, proved by Farmaki and Koutsogiannis.

Κύριο θέμα της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η θεωρία Ramsey, η οποίαεπεκτείνεται όπως και οι εφαρμογές της στην Συναρτησιακή Ανάλυση και στην θεωρία τωντοπολογικών δυναμικών συστημάτων, αναδεικνύοντας την αλληλεπίδραση αυτών των τριώνπεριοχών των Μαθηματικών.Κεντρική έννοια για την διατριβή αποτελεί η έννοια του coideal. Συγκεκριμένα, μέσω ενός coideal σε ένα άπειρο διατεταγμένο σύνολο, επεκτείνουμε την κλασική θεωρία Ramsey. Η θεωρία μας περιλαμβάνει ως ειδικότερες περιπτώσεις, (α) την αντίστοιχη θεωρία για coideals στο σύνολο των φυσικών αριθμών που απεδείχθη από τους Louveau, Mathias, Farah και Todorcevic, (β) τα διαμεριστικά θεωρήματα των Milliken, Taylor για ακολουθίες πεπερασμένων μη κενών υποσυνόλων φυσικών αριθμών, και (γ) τα διαμεριστικά θεωρήματα για ακολουθίες λέξεων που απεδείχθησαν από τους Carlson, Bergelson-Blass-Hindman, Φαρμάκη.Επίσης, μέσω της έννοιας του coideal στο σύνολο των φυσικών αριθμών, αποδεικνύεταιένα l_1-διχοτομικό θεώρημα, ισχυρότερο από το θεμελιώδες l_1-διχοτομικό θεώρημα του Rosenthal.Τέλος, αποδεικνύονται αποτελέσματα επαναφοράς και πολυδιάστατα αποτελέσματα επαναφοράς για τοπολογικά δυναμικά συστήματα σε μια μερικά διατεταγμένη ημιομάδα ως προς ένα coideal. Η θεωρία μας περιλαμβάνει αποτελέσματα επαναφοράς και πολυδιάστατα αποτελέσματα επαναφοράς για τοπολογικά δυναμικά συστήματα στο σύνολο των φυσικών αριθμών, ή σε πεπερασμένα μη κενά υποσύνολα των φυσικών, που απεδείχθησαν από τουςFurstenberg και Weiss, και ανάλογα αποτελέσματα για τοπολογικά δυναμικά συστήματα με δείκτες από λέξεις που απεδείχθησαν από τους Φαρμάκη και Κουτσογιάννη.