Μελέτη εκτατικών ροών υμένων νευτωνικών και μικροδομημένων ρευστών που εμπεριέχουν φυσαλίδες

Abstract

Motivated by the probe experiment for characterizing the adhesion strength of polymeric materials, we studied the axisymmetric extensional flow of a viscoelastic liquid filament that contains one or three initially spherical bubbles along its axis of symmetry. The filament is confined between two parallel and coaxial disks of the same radius and its initially cylindrical outer surface is surrounded by air. The flow is induced by the axial extension of the upper disk under constant velocity, while the lower disk remains stationary. The rheology of the liquid is described by the exponential Phan-Thien & Tanner viscoelastic model. A quasi-elliptic transformation combined with domain decomposition and local mesh refinement is employed to discretize the domain. The mixed finite element Galerkin method for the mass and momentum balances combined with the EVSS-G method and SUPG weighting for the constitutive equation are used to obtain their weak forms. All these are necessary for the successful simulation of much larger filament extensions and of liquids with higher elasticity than those reported earlier. The evolution of the filament and the bubble(s) free surfaces depends on the interplay of the viscous, elastic and capillary forces. It was found that, when the ratio of the elastic and the capillary forces is small compared to the viscous forces, the bubble attains very large deformations. The onset of cusps was observed at the bubble poles for intermediate values of capillarity and elasticity. The force varies with the filament extension (or time) in a way reported in experiments measuring the strength of adhesive materials: Its initial increase up to a maximum is followed by a plateau and finally it drops to zero when the adhesive tends to fail. Increasing the filament elasticity delays the development of stresses (and the applied force). The effects of the wettabity, the flow parameters and the surface tension on the transient extensional flow of a liquid bridge with gas inclusions between two plates are studied with the use of FEM simulations. The results show that the wettabity plays an important role on the amount of liquid that is finally attached to each plate. More precisely the major part of the liquid is attached to the plate with the higher wettability, after the breaking of the bridge. The slip coefficient affects the shape of the final gas bubbles but not the amount of liquid attached to each plate. When the two plates are of the same material the amounts of liquid and gas attached to each plate are equal. The elongation of the liquid bridge is found to be inversely proportional to the surface tension while the point where the liquid bridge breaks depends on the Reynolds number. These results are found to be in good agreement with experimental results [36]. The pinching occurring during the formation and the break-up of the liquid bridge are also studied. The results obtained for the pinching are also in agreement with literature [55, 58]. Because of the three dimensional nature of many physical problems encountered in industrial processes and applications, we developed a novel 3D elliptic grid generator for the construction and the deformation of structured grids. The specific application we consider is related to the large deformations of an air/liquid interface of a liquid that lies between two parallel plates. The new technique is based on the Laplace equations of the inverse mapping along with internal constraints, which are considered essential in order to adjust grid spacing. This set of equations is accompanied with appropriate set of boundary conditions that is the simultaneous solution of the Laplace prοblem for the 2D flat boundaries and the 3D air/liquid hyper-surface. The imposition of the 1D differential arc-length at each of the edge boundaries in the computational domain is the adjusting condition for optimal distribution along the moving contact lines. The new 3D grid generator provides the smoothness of the coordinate lines not only in the bulk, but also on the boundary surfaces. The kinematic condition is invoked for the motion of the 3D surface of the bubble and we also consider the free motion of the 2D contact line (points where the air in the bubble and the surrounding liquid meet the solid boundary). In order to resolve better the flow field and the shape of the bubble free surface we have also developed a local mesh refinement technique. In this way the demand for computational memory is reduced. The algorithm was partially parallelized so a very convenient speed up of the solution was achieved. Our method in 3D grid generation follows the Arbitrary Lagrangian Eulerian (A.L.E.) formulation, which when combined with the finite element/Galerkin method provides a flexible and robust tool for simulating free surface flows in three dimensions. From the physical point of view, an initially perturbed bubble lies on the lower substrate-in the middle of a symmetrically confined cell. At the lateral boundaries symmetry conditions are imposed so that similar cells are supposed to lie adjacent to the initial one. Due to the extensional nature of the flow the bubble inflates mostly radially than axially. The wetting/dewetting driven flow depends on the dynamic angle at the circumference of the bubble and on its difference from the receding or advancing limit. The Navier slip law is applied between the solid substrate and the liquid adhesive. When the slip becomes quite small the slow dynamics of the contact line-brings about the formation of fingers that grow from the intial perturbation shape.

Έχοντας ως κίνητρο το πείραμα εκτατιικής ροής για το χαρακτηρισμό πολυμερικών ρευστών ως προς τη δύναμη αντοχής μελετήσαμε την αξονική εκτατική ροή μικροδομημένου ρευστού που εμπεριέχει μία ή τρεις αρχικά σφαιρικές φυσαλίδες αέρα πάνω στον άξονα συμμετρίας. Το ινίδιο του μικροδομημένου ρευστού κείται μεταξύ δύο ομοαξονικών παράλληλων δίσκων ίδιας ακτίνας και η αρχικά κυλινδρική του επιφάνεια είναι σε επαφή με τον περιβάλλοντα αέρα. Η ροή προκαλείται από την αξονική μετατόπιση του πάνω δίσκου υπό σταθερή ταχύτητα, ενώ ο κάτω δίσκος παραμένει ακίνητος. Η ρεολογία του ρευστού περιγράφεται από το εκθετικό Phan-Thien & Tanner ιξωδοελαστικό μοντέλο. Ένας οιονεί-ελλειπτικός μετασχηματισμός συνδιασμένος με σύζευξη τμημάτων πλέγματος (domain decomposition) και τοπική πύκνωση του πλέγματος αναπτύχθηκαν για να διακριτοποιιηθεί η περιοχή της επίλυσης. Η μέθοδος των μικτών πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιήθηκε για τη διακριτοποίηση των ισοζυγίων μάζας και ορμής συνδιασμένα με τη μεθοδο EVSS-G και SUPG για τη διακριτοποίηση της καταστατικής εξίσωσης. Όλα αυτά ήταν απαραίτητα για την επιτυχή προσομοίωση των μεγάλων εκτάσεων ιξωδοελαστικών ινιδίων πολύ μεγαλύτερης έκτασης και ελαστικότητας από αυτά που είχαν ήδη δημοσιευθεί. Η εξέλιξη στο χρόνο του ινιδίου και της παραμόρφωσης της ελεύθερης επιφάνειας της φυσαλίδας(ων) εξαρτάται από την αλληλεπίδραση των ιξωδών, ελαστικών και τριχοειδών δυναμεων. Βρέθηκε ότι, όταν ο λόγος των ελαστικών και των τριχοειδών δυνάμεων συγκρινόμενες με τις ιξώδεις δυνάμεις είναι μικρός, η φυσαλίδα φτάνει σε πολύ μεγάλες παραμορφώσεις. Η εμφάνιση αιχμηρών άκρων παρατηρήθηκε στους πόλους για ενδιάμεσες τιμές τριχοειδών δυνάμεων και ελαστικότητας. Η δύναμη μεταβάλεται με τη έκταση του ινιδίου (ή το χρόνο) όπως αναφέρεται στα πειράματα μετρώντας τη συγκολιτική αντοχή του υλικού. Η αρχική της αύξηση ακολουθείται από ένα πλατώ και τελικά πέφτει στο μηδέν όταν το συγκολητικό υλικό τείνει να αστοχήσει. Αυξάνοντας την ελαστικότητα το ινιδίου καθυστερείται η ανάτυξη των τάσεων (και της εφαρμοζόμενης δύναμης). Η επίδραση της διαβρεκτικότητας, των παραμέτρων ροής και της διεπιφανειακής τάσης στην χρονομεταβαλόμενη εκτατική ροή γέφυρας ρευστού με έγκλεισμα αερίου ανάμεσα σε δύο παράλληλες πλάκες μελετώνται με τη χρήση των μικτών πεπεραμένων στοιχείων. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι η διαβρεκτικότητα παίζει σημαντικό ρόλο στην ποσότητα του υγρού που τελικά θα εναποτεθεί στην κάθε πλάκα. Πιο συγκεκριμένα το μεγαλύτερο μέρος του υγρού εναποτίθεται στην πλάκα με τη μεγαλύτερη διαβρεκτικότητα μετά το σημείο που η γέφυρα σπάζει. Ο συντελεστής ολίσθησης επηρεάζει το τελικό σχήμα των αέριων φυσαλίδων αλλά όχι την ποσότητα του υγρού που προσκολάται στην κάθε πλάκα. Όταν οι δυο πλάκες είναι από το ίδιο υλικό η ποσότητα του υγρού που προσκολλάται στην κάθε πλάκα είναι ίδια. Το μέγεθος έκτασης της γέφυρας υγρού βρέθηκε να είναι αντιστρόφως ανάλογο της διεπιφανεικής τάσης, ενώ το σημείο όπου η γέφυρα υγρού σπάζει εξαρτάται από τον αριθμό Reynolds. Αυτά τα αποτελέσματα είναι σε καλή συμφωνία με πειραματικά αποτελέσματα [36]. Τα αποτελέσματα που αποκτήθηκαν για τη διάσπαση της γέφυρας είναι επίσης σε συμφωνία με τη βιβλιογραφία [55], [58]. Εξαιτίας της τρισδιάστατης φύσης πολλών φυσικών προβλημάτων που συναντώνται σε βιομηχανικές διεργασίες και εφαρμογές, αναπτύξαμε μία τρισδιάστατη γεννήτρια πλέγματος για την κατασκευή και παραμόρφωση δομημένων πλεγμάτων. Το πρόβλημα που μελετάμε σχετίζεται με τις μεγάλες παραμορφώσεις μιας φυσαλίδας που κείται μέσα σε ένα συγκολλητικό υλικό που βρίσκεται ανάμεσα από δύο παράλληλες πλάκες. Η νέα τεχνική βασίζεται στις εξισώσεις Laplace του αντίστροφου μετασχηματισμού πλέγματος, μαζί με εσωτερικούς περιορισμούς οι οποίοι είναι απαραίτητοι για να ρυθμίζεται η εσωτερική κατανομή κόμβων. Αυτό το σετ εξισώσεων συνοδεύεται από την ταυτόχρονη επίλυση των εξισώσεων Laplace για τον προσδιορισμό των δισδιάστατων και τρισδιάστατων παραμορφώσεων της διεπιφάνειας της φυσαλίδας. Η επιβολή της μονοδιάστατης ισοκατανομής με το μήκος τόξου (arc-length) στην κινούμενη τριπλή γραμμή επαφής είναι απαραίτητη ώστε να ισονατανέμονται οι κόμβοι κατά μήκος της. Η τρισδιάστατη κινηματική εξίσωση χρησιμοποιείται για την κίνηση της διεπιφάνειας υγρού αέρα, και επιπλέον χρησιμοποιείται η δισδιάστατη κινηματική συνθήκη για την τριπλή γραμμή επαφής (κοινά σημεία υγρού-στερεού-αέρα). Ο αλγόριθμος παραλληλοποιήθηκε και έτσι επιτεύχθηκε μεγάλη επιτάχυνση των υπολογισμών. Στο φυσικό πρόβλημα, μία αρχικά διαταραγμένη φυσαλίδα αέρα κείται στο κάτω υπόστρωμα στη μέση ενός συμμετρικού κελιού. Εξαιτίας της εκτατικής φύσης της ροής η φυσαλίδα επεκτείνεται περισσότερο ακτινικά παρά αξονικά. Η ροή προκαλείται από τη διαβροχή/μη διαβροχή στο κάτω υπόστρωμα και η κίνηση βασίζεται στην διαφορά της γωνίας επαφής από την οριακή της τιμή για προώθηση ή οπισθοχώρηση. Το Navier φαινομενολογικό μοντέλο ολίσθησης εφαρμόζεται μεταξύ του υγρού και του υποστρώματος. Όταν η ολίσθηση είναι μικρή, ή αργή δυναμική προκαλεί αύξηση των δακτυλίων από το αρχικό διαταραγμένο σχήμα.