Τυχαίοι περίπατοι σε πολλαπλότητες

Abstract

In this thesis , we study the Brownian motion on a n-dimentional sphere. Mainly we prove results in cases of n=2 and n=3, due to the fact that these dimensions have applications. For n=2 , S2 describes the surface of the earth. Hence Brownian motion on S2 can utilized for epidimiological models and environmental pollution models. Also for n=3, S3 appears in Realitivity Theory. Chapter 1 is a brief introduction of the basic definition and theorems. In chapter 2 using the Laplace-Beltrami operator we construct the Brownian motion process on the n-dimensional sphere, using Spherical and Stereographic coordinates as local coordinates. Following, we evaluate explicity certain quantities related to this diffusion process. We start with the transition density for the cases n=1,2 and 3. Also, we give the Stochastic Differential Equation of the Brownian motion in those local coordinates. We continue in chapter 3 with the calculation of expectations of exit times of specific domains possessing certain symmetries. Furthermore, some other propabilistic quantities regarding these exit times are calculated such as moment generating functions. In the end of Chapter 3 we discuss the Reflection Principle on S2. Everything extends easily to Sn. Reflection Principle can help to calculate the distribution functions of certain exit times. In Chapter 4 we evaluate certain probabilistic quantities related to the Boundary Local Time of a certain domain until First Hitting.

Στην παρούσα διατριβή μελετάμε κάποια προβλήματα της κίνησης Brown πάνω στην σφαίρα διάστασης n, Sn. Κυρίως αποδεικνύουμε αποτελέσματα για τις περιπτώσεις n=2 και n=3, λόγω του ότι οι διαστάσεις αυτές παρουσιάζουν πρακτικές εφαρμογές. Για n=2 η S2 περιγράφει την επιφάνεια της γης και συνεπώς η τυχαία κίνηση πάνω στην S2 μπορεί να χρησιμεύσει για επιδημιολογικά μοντέλα , μοντέλα μόλυνσης περιβάλλοντος κ.α. Ενώ για n=3 η S3 εμφανίζεται στην θεωρία της σχετικότητας. Συγκεκριμένα, στο δεύτερο κεφάλαιο υπολογίζουμε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κίνησης Brown πάνω στην σφαίρα Sn, για n=1,2,3, ενώ στο τρίτο κεφάλαιο υπολογίζουμε την μέση τιμή του χρόνου εξόδου T της κίνησης Brown από μια περιοχή της Sn. Υπολογίζονται επίσης οι πιθανότητες εξόδου και οι ροπογεννήτριες συναρτήσεις του χρόνου εξόδου T. Στο τέλος του κεφαλάιου 3 αποδεικνύουμε την αρχή της ανακλάσεως (Reflection Principle) για τον υπολογισμό της συνάρτησης κατανομής διαφόρων χρόνων εξόδου T από την Sn. Επίσης δίνονται και εφαρμογές της αρχής αυτής. Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο της διατριβής κάνουμε χρήση του ορισμού της ανακλώμενης κίνησης Brown Yt και του συνοριακού τοπικού χρόνου συνόρου Lt της Yt ενός δοσμένου συνόρου ενός συνόλου D. Συγκεκριμένα η διάχυση συμπεριφέρεται σαν την κίνηση Brown στην Sn στο εσωτερικό του D , αλλά ανακλάται πίσω στο D όταν φτάνει στο συνορό του. Υπολογίζουμε τέλος την ροπογεννήτρια συνάρτηση του LT, όπου Τ είναι ο χρόνος εξόδου της Yt από ένα δοσμένο υποσύνολο της Sn. Στο πρώτο κεφάλαιο προσαρμόστηκαν και εξιδεικεύτηκαν διάφοροι γενικοί ορισμοί και σχετικά εργαλεία για τα παραπάνω υπό θεώρηση προβλήματα.