Υπολογιστική διαπραγμάτευση των ταλαντώσεων και των κυμάτων βαρύτητας σε αστέρες νετρονίων

Abstract

This PhD Thesis consists of two parts. In the first part, we study thequasiradialpulsations of rigidly and slowly rotating neutron stars and wecalculate the eigenfrequences of these oscillations.As quasiradialpulsations (or, equivalently, oscillations), we characterizethe pulsations of neutron stars that rotate uniformly and slowly. Thestudy of the states of equilibrium of a rotating neutron star is importantbecause rotation is a possible mechanism to avoid gravitational collapse atthe onset of nuclear fusion in their interior, but it could also play an importantrole in the damping of radial oscillations, resulting in loss of energyin the form of gravitational radiation. The computation of such rotationalpulsations is based on Hartle’s perturbation theory, according to which,the study of relativistic rotating massive objects is based on a perturbativesolution of Einstein’s field equations, describing a static, sphericallysymmetric model.Our task is to calculate, lying on the study of Hartle and Hartle andFriedmann, the zeroth-orderand second-ordereigenfrequencies of thelowest three modes of radial pulsation for general-relativisticpolytropicmodels. The zeroth-ordereigenfrequences, [σ^2]^(0), are the eigenfrequences ofthe nonrotating model while the second-orderones [σ^2]^(2) are the rotation-inducedchanges in the eigenfrequencies. When a star is rotating rigidlywith a small angular velocity, the squared eigenfrequencies σ^2 of itspulsation modes can be expanded in powers of Ω,σ^2 = [σ^2](0) + [σ^2](2) + ...where the superscript ‘‘ (0) ’’ denotes terms of zeroth order in Ω and thesuperscript ‘‘(2)’’ terms of second order in Ω. Concerning the zeroth-ordereigenfrequencies, we begin with the so-called"Chandrasekhar operator" applied to the so-called"displacement function" U and set equal to zero.To compute the eigenvalues [σ^2](0) we start the numerical integration for atrial value [σ^2] and the proper initial conditions and we integrate towardsthe surface and then check if the resulting solution U satisfies the boundarycondition ΓPU(R)' = 0 and thus establishing a SturmLiouville(SL) boundary value problem with eigenvalues the pulsation eigenfrequencies[σ^](0), which can be transformed into a system of two first-orderdifferentialequations. The second-ordereigenfrequencies [σ^2]^(2) are then computed numerically.We resolve four nonrotating general-relativisticpolytropic models with polytropicindices n = 1.0, 1.5, 2.0 and 2.5. Each model is resolved for fivecases of central mass-energydensities. These values have been chosento be below and relatively close to the ‘‘maximum-massdensities’’ of thecorresponding models, being in fact the more interesting ones when consideringneutron stars. Each density case is resolved for the three lowestmodes of pulsation: Mode 0, Mode 1 and Mode 2. For each mode,we compute a rigidly rotating configuration with angular velocity equal tothe corresponding Keplerian angular velocity, ΩK. Hartle’s perturbationmethod uses proper expansions in the rotation parameter ε = Ω/Ωmax, where Ωmax = sqrt(GM/R^3) is the angular velocity for which mass sheddingstarts occuring at the equator of a star. Thus Ωmax describes theNewtonian balance between centrifugal and gravitational forces. However,this Newtonian upper bound appears to be a rather overestimated limit forneutron stars. For such relativistic objects, the appropriate upper boundis ΩK. Hence, if the angular velocity is slightly greater than ΩK, then massshedding occurs at the equator of a neutron star. ΩK can be computedby several methods. For our numerical calculations we use the packageMathemαtica® and the Keplerian angular velocities have been calculatedusing the package "Rotating Neutron Stars Package" (RNS).In the second part of the thesis we study the nonradial oscillations ofneutron stars. Specifically, we develop a new numerical method, the socalled "overall complex plane strategy" (OCPS) for the computation of the eigenfrequences of the w, f and p-modesof nonradial oscillations of general-relativistic,polytropic neutron stars which have no Newtonian analogue.Numerical integrations are resolved by the Fortran code DCRKF54which is a Runge-Kutta-Fehlbergcode of fourth and fifth order, modifiedso that to integrate "initial value problems" established on systems of firstorder ODEs of complex-valuedfunctions in one complex variable along prescribedcomplex results. We numerically integrate on the complex planethe four first order ordinary differential equations that describe the non radialoscillations of a general relativistic polytropic model. In order to avoidsingularities at the center of the neutron star, where r = 0, we introduce asmall imaginary part in the radial coordinate r and we perform the integrationsalong a path parallel to the axis of the real numbers on the complexplane. Using the numerical method OCPS, we start the integrations exactlyat the center of the neutron star, thus avoiding numerical problems nearthe center of the star and also achieving higher accuracy in our results.On the contrary, in all previous studies, efforts have been made to startthe integrations as close to the center of the star as possible, either byusing Taylor approximation and power series expansion orby choosing starting points very close to the center of the star in order toavoid the singularities, without though avoiding numerical problems.This is a major advantage of our numerical method. Moreover, using OCPS,we succeed in calculating with accuracy even the eigenfrequences withvery small imaginary parts, a point where previous studies also encounterednumerical difficulties. Last, the stability of our numerical methodis verified from the fact that our numerical results are not influenced fromthe point where the integrations terminate in the exterior of the neutronstar, neither from the point where we perform the numerical conjunction ofthe vectors of the solutions resulting form inward and outward integrationin the interior of the neutron star in order to find a unique solution. Thenumerical values of eigenfrequences of the w, f and p-modesof oscillationare compared to those of the bibliography in order to verify the reliabiltyand the stability of our numerical method.Einstein was the first to derive the equations describing small, nonradial,quasi-periodicoscillations of general relativistic stellar models. Thissystem can be transformed in a fourth order system of equationsand be written in the vectorial form.We resolve it according to the study of Kokkotas and Schultz; we initiallyrealize five integrations of the vector in the interior of the neutron star,two from the center of the star outwards and three from the surface of thestar inwards. We integrate on a straight line parallel to the axis of the realnumbers and very close to it (at a distance equal to the imaginary part weintroduce in the radial coordinate r) and the integrations terminate at theso called matching point. This is the point where the linear combinationof the five integrations is realized in order to find a unique solution in theinterior of the neutron star. We continue performing a sixth integration inthe interior of the neutron star, from the matching point to the surface of thestar. The solutions of this final integration in the interior of the neutronstar are used as initial conditions for the integration of the Zerilli equationin the exterior of the neutron star outwards. We numerically integrate, afterwe modify the Zerilli equation, up to a distance very far from the centerof the neutron star on a straight line with slope ωim/ωre to the axis of the realnumbers. This is the preferred "path" to integrate, according to the "Stokesphenomenon". Finally, we perform a last integration of the modified Zerilliequation up to a terminal point which is taken as a reference pointwhere we could say is the position of an inertial observer. At this point,we transform the Zerilli function to its initial form and we calculate therate γ(ω)/β(ω) which expresses the rate of the intensity of the incoming gravitationalradiation to the intensity of the outgoing gravitational radiation. Aphysically accepted solution gives no incoming gravitational radiation, sothe frequences, ω, that make this rate zero are the eigenfrequences of thefree oscillation of the neutron star, they are complex and they could haveeither large or small imaginary parts. Their real part is connected to thepulsating rate of the neutron star whereas the imaginary part is connectedto the damping of the oscillation due to gravitational radiation.

Η παρούσα διδακτορική διατριβή αποτελείται από δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος μελετούμε τις ημιακτινικές ταλαντώσεις ομοιόμορφα και αργά περιστρεφόμενων αστέρων νετρονίων και υπολογίζουμε τις ιδιοσυχνότητες των ταλαντώσεων αυτών.Ως "ημιακτινικές ταλαντώσεις" (semi-radial oscillations) χαρακτηρίζονται οι ταλαντώσεις των ομοιόμορφα και αργά περιστρεφόμενων αστέρων νετρονίων. Η μελέτη των καταστάσεων ισορροπίας ενός περιστρεφόμενου αστέρα νετρονίων είναι σημαντική, γιατί η περιστροφή είναι ένας πολύ πιθανός μηχανισμός για την αποτροπή της βαρυτικής κατάρρευσης υπέρμαζων αστέρων πριν την εκκίνηση των πυρηνικών καύσεων στο εσωτερικό τους, αλλά μπορεί επίσης να παίξει σημαντικό ρόλο στην απόσβεση των ακτινικών του ταλαντώσεων με αποτέλεσμα τη σταδιακή απώλεια ενέργειας με τη μορφή βαρυτικής ακτινοβολίας. Οι υπολογισμοί των ζητούμενων ιδιοσυχνοτήτων στηρίζονται στη μέθοδο διαταραχής του Hartle, σύμφωνα με την οποία, η μελέτη περιστρεφόμενων σχετικιστικών μοντέλων μεγάλης μάζας στηρίζεται σε μια διαταρακτική λύση των πεδιακών εξισώσεων του Einstein οι οποίες περιγράφουν ένα στατικό, σφαιρικά συμμετρικό μοντέλο.Σκοπός μας είναι να υπολογίσουμε, βασιζόμενοι στη μελέτη των Hartle και Hartle and Friedmann, τις ιδιοσυχνότητες μηδενικής και δεύτερης τάξης των τριών χαμηλότερων τρόπων ημιακτινικής ταλάντωσης για σχετικιστικά πολυτροπικά μοντέλα. Οι ιδιοσυχνότητες μηδενικής τάξης ([σ^2]^(0)) είναι οι ιδιοσυχνότητες του μη περιστρεφόμενου μοντέλου, ενώ οι ιδιοσυχνότητες δεύτερης τάξης ([σ^2]^(2)) είναι οι μεταβολές που προκύπτουν στις ιδιοσυχνότητες λόγω περιστροφής. Όταν ένας αστέρας περιστρέφεται ομοιόμορφα και αργά, τα τετράγωνα των ιδιοσυχνοτήτων σ^2 μπορούν να αναπτυχθούν σε σειρές του Ω, σ^2 = [σ^2]^(0) + [σ^2]^(2) + ... όπου ο δείκτης (0) δηλώνει τους όρους μηδενικής τάξης ως προς ω και ο δείκτης (2) δηλώνει τους όρους δεύτερης τάξης ως προς ω. Για τον υπολογισμό των ιδιοσυχνοτήτων δεύτερης τάξης, εφαρμόζουμε τον "τελεστή Chandrasekhar" στη "συνάρτηση μετατόπισης" U και απαιτούμε το αποτέλεσμα να είναι μηδέν. Για να υπολογίσουμε τις ιδιοσυχνότητες [σ^2]^(0), ξεκινάμε την αριθμητική ολοκλήρωση για μια δοκιμαστική τιμή σ^2 και τις κατάλληλες αρχικές συνθήκες και ολοκληρώνουμε έως την επιφάνεια του αστέρα. Στο σημείο αυτό, ελέγχουμε εάν η λύση της συνάρτησης U που προκύπτει ικανοποιεί την οριακή συνθήκη ΓPU(R)'=0. Προκύπτει επομένως ένα πρόβλημα οριακών τιμών Sturm-Liouville (SL) με ιδιοτιμές τις ιδιοσυχνότητες [σ^2]^(0). Το πρόβλημα SL μπορεί να γραφεί με τη μορφή δύο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Στη συνέχεια, οι ιδιοσυχνότητες δεύτερης τάξης, [σ^2]^(2), μπορούν να υπολογιστούν αριθμητικά.Οι υπολογισμοί γίνονται αρχικά για τέσσερα πολυτροπικά μοντέλα με πολυτροπικούς δείκτες n = 1.0, 1.5, 2.0 και 2.5, ενώ κάθε μοντέλο επιλύεται για πέντε περιπτώσεις κεντρικών πυκνοτήτων μάζας-ενέργειας, για τους τρεις πρώτους τρόπους παλμικής ταλάντωσης, 1, 2 και 3. Οι τιμές κεντρικών πυκνοτήτων έχουν επιλεγεί λίγο κάτω από τις "πυκνότητες μέγιστης μάζας" των αντίστοιχων μοντέλων και είναι αυτές που παρουσιάζουν το μεγαλύτερο ενδιαφέρον. Για κάθε τρόπο ταλάντωσης, κάνουμε τους υπολογισμούς μας για ομοιόμορφη περιστροφή, με γωνιακή ταχύτητα ίση με την αντίστοιχη Κεπλεριανή γωνιακή ταχύτητα, Ωκ. Η μέθοδος διαταραχής του Hartle χρησιμοποιεί τα κατάλληλα αναπτύγματα ως προς την παράμετρο περιστροφής ε=Ω/Ωmax, όπου Ωmax=sqrt(GM/R^3) είναι η τιμή της γωνιακής ταχύτητας για την οποία ξεκινάει η κατάρρευση μάζας προς τον ισημερινό του αστέρα. Επομένως, η Ωmax περιγράφει τη Νευτώνεια ισορροπία μεταξύ βαρυτικών και φυγόκεντρων δυνάμεων. Βέβαια, αυτό το Νευτώνειο άνω όριο φαίνεται να είναι ένα μάλλον υπερεκτιμημένο όριο για τους αστέρες νετρονίων. Για τέτοιου είδους σχετικιστικά αντικείμενα, το κατάλληλο άνω όριο είναι η Ωκ. Για τους αριθμητικούς υπολογισμούς μας χρησιμοποιήσαμε το πακέτο Mathematica®, ενώ οι Κεπλεριανές γωνιακές ταχύτητες έχουν υπολογιστεί με χρήση του πακέτου "Rotating Neutron Stars Package" (RNS).Στο δεύτερο μέρος της διατριβής μελετούμε τις "μη ακτινικές ταλαντώσεις" (nonradial oscillations) των αστέρων νετρονίων. Συγκεκριμένα, αναπτύσσουμε μια νέα αριθμητική μέθοδο, τη λεγόμενη "συνολική στρατηγική του μιγαδικού επιπέδου" (overall complex plane strategy, OCPS) για τον υπολογισμό των ιδιοσυχνοτήτων των w, f και p τρόπων μη ακτινικής ταλάντωσης σχετικιστικών και πολυτροπικών αστέρων νετρονίων που δεν έχουν Νευτώνειο ανάλογο. Οι αριθμητικές ολοκληρώσεις γίνονται με τον κώδικα Fortran DCRKF54, ο οποίος είναι ένας κώδικας Runge-Kutta-Fehlberg τέταρτης και πέμπτης τάξης, τροποποιημένος ώστε να ολοκληρώνει "προβλήματα αρχικών τιμών" σε συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης για μιγαδικές συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής. Επιλύουμε αριθμητικά στο μιγαδικό επίπεδο το σύστημα των τεσσάρων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης που περιγράφουν τις μη ακτινικές ταλαντώσεις. Προκειμένου να αποφευχθούν οι ασυνέχειες και οι απροσδιοριστίες στο κέντρο και στην επιφάνεια του αστέρα, εισάγουμε ένα μικρό φανταστικό μέρος στην ακτινική μεταβλητή r και πραγματοποιούμε τις ολοκληρώσεις στο μιγαδικό επίπεδο και, συγκεκριμένα, επάνω σε ένα "μονοπάτι" (contour) παράλληλο προς τον άξονα των πραγματικών αριθμών. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο OCPS , ξεκινούμε τις ολοκληρώσεις ακριβώς από το κέντρο του αστέρα νετρονίων, αποφεύγοντας αριθμητικά προβλήματα και επιτυγχάνοντας μεγαλύτερη ακρίβεια στους υπολογισμούς μας, σε αντίθεση με προηγούμενες μελέτες κατά τις οποίες έγιναν προσπάθειες προσέγγισης του σημείου εκκίνησης των ολοκληρώσεων είτε χρησιμοποιώντας σειρές Taylor και αναπτύγματα σειρών είτε επιλέγοντας να ξεκινήσουν την ολοκλήρωση πολύ κοντά στο κέντρο του αστέρα για να αποφύγουν την εμφάνιση ασυνεχειών. Στο σημείο αυτό οφείλεται η αυξημένη ακρίβεια της μεθόδου μας. Επίσης, με τη μέθοδο OCPS επιτυγχάνουμε να υπολογίσουμε με εξαιρετική ακρίβεια ακόμα και τις ιδιοσυχνότητες με πολύ μικρά φανταστικά μέρη, σημείο στο οποίο παλαιότερες μελέτες παρουσίασαν υπολογιστικά προβλήματα. Τέλος, η σταθερότητα της μεθόδου μας επιβεβαιώνεται από το γεγονός ότι τα αριθμητικά αποτελέσματα δεν επηρεάζονται από το σημείο στο οποίο τερματίζουν οι ολοκληρώσεις στο εξωτερικό του αστέρα νετρονίων, ούτε από το σημείο στο οποίο γίνεται γραμμικός συνδυασμός των ολοκληρώσεων στο εσωτερικό του αστέρα νετρονίων, με σκοπό την εύρεση μοναδικής λύσης. Οι αριθμητικές τιμές των ιδιοσυχνοτήτων που υπολογίζουμε συγκρίνονται με αυτές τις βιβλιογραφίας και συγκεκριμένα με αυτές των w, f, p τρόπων ταλάντωσης που αποτελούν δύσκολες περιπτώσεις και έτσι επιβεβαιώνουμε την ακρίβεια της μεθόδου μας.Ο Einstein ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τις εξισώσεις που περιγράφουν μικρές, μη ακτινικές, ημιπεριοδικές ταλαντώσεις για σχετικιστικά αστρικά μοντέλα. Το σύστημα αυτό αποδεικνύεται ότι μπορεί να απλοποιηθεί σε ένα σύστημα τεσσάρων συνήθων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, το οποίο μπορεί να γραφεί σε διανυσματική μορφή.Η επίλυση γίνεται σύμφωνα με τη μελέτη των Kokkotas και Schultz πραγματοποιώντας αρχικά πέντε ολοκληρώσεις στο εσωτερικό του αστέρα, δύο από το κέντρο προς την επιφάνεια και τρεις από την επιφάνεια προς το κέντρο. Οι πέντε αυτές ολοκληρώσεις πραγματοποιούνται πάνω σε ευθεία παράλληλη στον άξονα των πραγματικών αριθμών και πολύ κοντά σε αυτόν (σε απόσταση όσο το φανταστικό μέρος που εισάγουμε στην ακτινική συνιστώσα r) και τερματίζουν στο λεγόμενο σημείο πλέξης, όπου γίνεται ο γραμμικός συνδυασμός αυτών με σκοπό την εύρεση μιας και μοναδικής λύσης. Συνεχίζουμε με μια έκτη ολοκλήρωση στο εσωτερικό του αστέρα, από το σημείο πλέξης μέχρι την επιφάνεια και οι τιμές των λύσεων που λαμβάνονται πάνω στην επιφάνεια του αστέρα αποτελούν τις αρχικές συνθήκες της ολοκλήρωσης της εξίσωσης Zerilli που ακολουθεί. Η ολοκλήρωση της εξίσωσης Zerilli πραγματοποιείται, αφού πρώτα η εξίσωση τροποποιηθεί, από την επιφάνεια του αστέρα σε απόσταση πολύ μακριά από αυτόν, πάνω σε ευθεία με που σχηματίζει με τον άξονα των πραγματικών αριθμών γωνία κλίσης ωim/ωre. Η ευθεία αυτή αποτελεί, σύμφωνα με το "φαινόμενο Stokes", τη βέλτιστη διαδρομή για να ολοκληρώσουμε. Τέλος, ολοκληρώνουμε την τροποποιημένη εξίσωση Zerilli μέχρι ένα σταθερό σημείο που λαμβάνεται ως σημείο αναφοράς και εκεί θεωρούμε ότι τοποθετείται αδρανειακός παρατηρητής. Στο σημείο αυτό, η συνάρτηση Zerilli μετατρέπεται στην αρχική της μορφή και υπολογίζεται ο λόγος γ(ω)/β(ω) που εκφράζει το λόγο της έντασης της εισερχόμενης στον αστέρα βαρυτικής ακτινοβολίας προς την ένταση της εξερχόμενης από τον αστέρα βαρυτικής ακτινοβολίας. Οι συχνότητες ω που μηδενίζουν το λόγο αυτό, αποτελούν τις ζητούμενες ιδιοσυχνότητες ελεύθερης ταλάντωσης του αστέρα νετρονίων, είναι μιγαδικές και μπορούν να έχουν είτε μεγάλα φανταστικά μέρη είτε πολύ μικρά φανταστικά μέρη. Το πραγματικό μέρος των ιδιοσυχνοτήτων ερμηνεύει το ρυθμό των παλμών του αστέρα, ενώ το φανταστικό μέρος δείχνει την απόσβεση της ταλάντωσης λόγω βαρυτικής ακτινοβολίας.