Διαφορική γεωμετρία και θεωρία μεταβολών στην αναγνώριση προτύπων και την ψηφιακή ανάλυση εικόνας, με πρωτότυπες εφαρμογές στη βιοϊατρική και την αρχαιομετρία

Abstract

In the present thesis, new data similarity quantities are defined and associated data grouping/clustering algorithms are developed, exploiting a) notions and new approaches from the field of Calculus of Variations and b) representations of the data and of their congruence as differentiable manifolds in two, three and four dimensions.The three dimensional case concerns the mathematical formulation and resolution of the automatic fragmented objects reconstruction problem. The formulation of the problem is based on the quantification of the diversification of the adjacent fracture faces by means of error functionals defined over three, two and one dimension. The resolution of the reconstruction problem assembles the variational solutions of the constrained maximization of the geometric diversification quantities in a hierarchy consistent with the joint validity of these diversification extremes. This hierarchy is proved to be unique up to isomorphisms and, therefore, it governs the actual automatic fragmented objects reconstruction algorithm. As a part of an integrated automatic wall-paintings reassembly system, this algorithm has been applied for the determination of reconstructed islands among the fragments of prehistoric frescos excavated at Tyrins and held in the Prehistoric Collection of the National Archaeological Museum in Athens.The two and four dimensional manifolds cases correspond to the determination of congruence relations between curves up to elastic deformations and deformations of curves' implicit functional representations, respectively.Specifically, in the first case, the differentiable deformations of 2D bodies are expressed in terms of curvilinear coordinates and the associated system of PDEs that govern the deformations is determined. Moreover, the solution of the deformation PDEs is associated with an equivalent succession of morphological operators. Due to the form of the selected curvilinear coordinates system, the 2D deformations are decoupled as a combination of elastic deformation with local dilations/erosion. By means of the morphological operator that corresponds to the elastic deformations, two procedures are developed, which determine the neutral line of each such deformation and reconstruct undeformed versions of 2D bodies, straightening the spotted neutral line. On the basis of these procedures, a computer system has been developed that reconstructs undeformed versions of bodies from images of them in arbitrary deformation instances. This system, integrated with a properly formulated curves classification method has been used for the automatic classification of parasites from their microscopic images.Finally, in the 3rd subject of the thesis, congruence relations of curves are formulated so as to correspond to embeddings in level-sets of the same functions R4 → R. It is shown that such embeddings include every non-Euclidean, differentiable congruence of curves in R2, also being minimal in terms of the dimensions of the representation of this congruence. Then, projecting the generalized shape operator in the tangent space of the corresponding level-sets and using the generalized Stokes theorem, we have formulated the optimal embedding of a given curve segment in the level-sets of an implicit family of prototypes, in terms of the deviation of the level-sets curvature. It is shown that the minimization of this deviation implies the minimization of the geodesic distance in the 4-manifold formed by the level-sets of a certain implicit family of prototypes, at the same time keeping the fitting error invariant under Euclidean transformations. By demanding that the fitting error remains stationary on a submanifold of the level-set that includes the best fitting prototype, two complementary fitting procedures have been developed: a) the first one determines the best fitting congruence between an implicit prototype and a given "data" curve and b) the second one determines the prototype that optimally aligns more than one "data" curves along it. These procedures are the basis of an integrated computer system that determines the minimal number of prototype curves, which optimally match the maximum possible portion of a given set of curve segments. Application of this system to the analysis of the contours of the drawn figures of Mycenaic frescos, kept in the National Archaeological Museum in Athens, indicated that the wall-painting "Lady of Mycenae" have been constructed using advanced geometric guides that correspond to 2 hyperbolae and 2 linear spirals. Moreover, it has been rejected the hypothesis that a second wall-painting with stable contours could have been drawn using any guide in the form of conics or linear (Archimedes), exponential or spiral of revolution.

Στην παρούσα διατριβή ορίζονται νέες ποσότητες και αναπτύσσονται συνεπαγόμενες διαδικασίες ομαδοποίησης δεδομένων με χρήση α) εννοιών και νέων προσεγγίσεων στο γνωστικό πεδίο της Θεωρίας Μεταβολών και β) αναπαραστάσεων και ποσοτήτων επί Διαφορίσιμων Πολλαπλοτήτων (Differentiable Manifolds) σε δύο, τρεις και τέσσερις διαστάσεις.Η περίπτωση των τριών διαστάσεων αφορά τη μαθηματική τοποθέτηση και επίλυση του προβλήματος της ανακατασκευής θραυσμένων αντικειμένων. Η τοποθέτηση του προβλήματος στηρίζεται στην αναπαράσταση των αποκλίσεων των επιφανειών θραύσης μέσω ενεργειακών σε τρεις, δύο και μία διάσταση. Η επίλυση του προβλήματος ανακατασκευής στηρίζεται τόσο στην επίλυση των προβλημάτων Μεταβολών που αντιστοιχούν στην, υπό περιορισμούς μεγιστοποίηση αυτών των μέτρων διαφοροποίησης, όσο και στον προσδιορισμό της ιεραρχίας των κριτηρίων που επάγεται από τη συναλήθευση όλων αυτών των ορίων διαφοροποίησης. Η ιεραρχία αυτή αποδεικνύεται ότι είναι μοναδική μέχρις ισομορφισμού και κατά συνέπεια αποτελεί τη βάση πάνω στην οποία αναπτύσσεται ο αλγόριθμος της ανακατασκευής θραυσμένων αντικειμένων. Ο αλγόριθμος αυτός εφαρμόστηκε στα πλαίσια ενός ολοκληρωμένου συστήματος ανακατασκευής τοιχογραφιών που χρησιμοποιήθηκε για τον αυτόματο εντοπισμό συνενώσεων μεταξύ θραυσμάτων Μυκηναϊκών νωπογραφιών από την ανασκαφή της Τίρυνθας που φυλάσσονται στην Προϊστορική Συλλογή του Εθνικού Αρχαιολογικού Μουσείου.Οι περιπτώσεις των Πολλαπλοτήτων δύο και τεσσάρων διαστάσεων αφορούν τον προσδιορισμό αντιστοιχιών μεταξύ οικογενειών καμπυλών υπό ελαστικές παραμορφώσεις και παραμορφώσεις της πεπλεγμένης παράστασής τους αντίστοιχα. Συγκεκριμένα, στην πρώτη περίπτωση προσδιορίζονται οι μερικές διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τις διαφορίσιμες παραμορφώσεις των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων 2Δ σωμάτων. Προσδιορίζονται επίσης οι μορφολογικοί τελεστές των οποίων η δράση ισοδυναμεί με την παραμόρφωση που περιγράφουν οι προσδιορισθείσες ΜΔΕ. Λόγω της καμπυλόγραμμης παράστασης των σωμάτων οι παραμορφώσεις αποσυμπλέκονται σε ελαστικές και παραμορφώσεις που αντιστοιχούν σε τοπικές διαστολές/συστολές. Με τη χρήση του τελεστή που αντιστοιχεί στις ελαστικές παραμορφώσεις αναπτύσσονται 2 διαδικασίες που προσδιορίζουν την καμπύλης αναφοράς, η οποία ελαχιστοποιεί την παραμόρφωση της καμπυλόγραμμης παράστασης του σώματος και, εν συνεχεία, αντιστρέφουν την παραμόρφωση αυτή. Με βάση αυτές τις 2 διαδικασίες αναπτύσσεται ένα υπολογιστικό σύστημα ανακατασκευής απαραμόρφωτων εκδοχών σωμάτων που υφίστανται 2Δ ελαστικές παραμορφώσεις και παρουσιάζεται η εφαρμογή του στην αυτόματη αναγνώριση παρασίτων από εικόνες μικροσκοπίου.Τέλος στο 3ο θέμα της διατριβής η αντιστοιχία καμπυλών μελετάται υπό την ομαδοποίησή τους σε παραμετρικές οικογένειες επιπεδοσυνόλων (level-sets) της ιδίας συνάρτησης R4 → R. Αποδεικνύεται πως αυτή η ομαδοποίηση μπορεί να συμπεριλάβει κάθε διαφορίσιμη μη-Ευκλείδια αντιστοιχία καμπυλών στον R2 και είναι ελάχιστη ως προς τις διαστάσεις της αναπαράστασής της. Με προβολή του γενικευμένου τελεστή σχήματος (shape operator) στο χώρο των εφαπτομένων των επιπεδοσυνόλων κάθε οικογένειας καμπυλών και με χρήση του γενικευμένου θεωρήματος Stokes αναπτύσσεται ένα σφάλμα προσαρμογής βασισμένο στην διαφορική μορφή της καμπυλότητας. Αποδεικνύεται πως η ελαχιστοποίηση του σφάλματος αυτού ισοδυναμεί με την ελαχιστοποίηση της γεωδαιτικής απόστασης εντός της 4 – πολλαπλότητας που ορίζει κάθε οικογένεια επιπεδοσυνόλων ενώ ταυτόχρονα το σφάλμα παραμένει ανεξάρτητο Ευκλείδειων μετασχηματισμών. Απαιτώντας το σφάλμα αυτό να παραμένει στάσιμο στο επιπεδοσύνολο της οικογένειας που προσαρμόζει καλύτερα μια καμπύλη δεδομένων αναπτύσσονται 2 συμπληρωματικές διαδικασίες, μια κατάταξης καμπυλών σε αντίστοιχα μέλη μιας δοσμένης παραμετρικής οικογένειας καμπυλών και μια ομαδοποίησης καμπυλών υπό το ίδιο μέλος της παραμετρικής οικογένειας. Στη βάση αυτών των διαδικασιών αναπτύσσεται ένα πλήρες υπολογιστικό σύστημα για τον προσδιορισμό του ελάχιστου αριθμού προτύπων καμπυλών που προσαρμόζουν κατά μήκος τους βέλτιστα το μεγαλύτερο δυνατό ποσοστό ενός συνόλου δεδομένων καμπυλών. Η εφαρμογή του συστήματος αυτού σε Μυκηναϊκές νωπογραφίες του Εθνικού Αρχαιολογικού Μουσείου έδειξε πως η τοιχογραφία «Μυκηναία» έχει παραχθεί με τη χρήση προηγμένων γεωμετρικών οδηγών που αντιστοιχούν σε 2 υπερβολές και 2 γραμμικές σπείρες. Αποκλείστηκε επίσης, μεταξύ άλλων, το ενδεχόμενο μια δεύτερη νωπογραφία με εξαιρετικά σταθερά περιγράμματα να έχει παραχθεί από οδηγούς που αντιστοιχούν σε κωνικές τομές ή σε γραμμικές και εκθετικές σπείρες ή σε σπείρες εκτύλιξης.