ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΓΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Abstract

WE CONSIDER ON INITIAL AND NEUMANN BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A GENERAL PARABOLIC EQUATION AND AN ANALOGOUS ONE, WITH DIRICHLET BOUNDARY CONDITIONS, FOR A SOBOLEV - GALPERN TYPE EQUATION. WE APPROXIMATE THE SOLUTION OF THESE PROBLEMS USING A FULLY DISCRETE SCHEME, WHICH IS BASED ON THE COMBINATION OF A STANDARD GALERKIN FINITE ELEMENT METHOD WITH A RUNGE - KUTTA METHOD. ALSO, WE PROVE A PRIORI ERROR ESTIMATES OF FRACTIONAL ORDER, IN L2 NORM, FOR THE PARABOLICEQUATION AND OF OPTIMAL ORDER, IN SEVERAL NORMS, FOR THE SOBOLEV - GALPERN EQUATION. WE ALSO CONSIDER, A SCHRODINGER TYPE EQUATION IN A NON CYLINDRICAL DOMAIN UNDER DIRICHLET BOUNDARY CONDITIONS. WE CONSTRUCT A FAMILY OF CONSERVATIVE FINITE DIFFERENCE METHODS, WHICH ARE BASED ON PROPER APPROXIMATIONS OF THE MORNING BOUNDARY. FINALLY, WE PRESENT ON OPTIMAL ORDER ERROR ESTIMATE IN A DISCRETE L2 NORM.

ΘΕΩΡΟΥΜΕ ΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ NEUMANN ΓΙΑ ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΕΝΑ ΑΝΑΛΟΓΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ DIRICHLET ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΥΠΟΥ SOBOLEV - GALPERN. ΜΕΛΕΤΟΥΜΕ ΤΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΠΛΗΡΩΣ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΒΑΣΙΖΟΜΕΝΑ ΣΤΟ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟ ΜΙΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ GALERKIN ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΜΙΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ RUNGE - KUTTA. ΓΙ' ΑΥΤΑ ΤΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ, ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ, ΣΤΗ ΣΤΑΘΜΗ ΤΟΥ L2, ΓΙΑ ΤΗΝΠΑΡΑΒΟΛΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΤΑΞΗΣ, ΣΕ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΣΤΑΘΜΕΣ, ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗSOBOLEV- GALPERN. ΘΕΩΡΟΥΜΕ, ΕΠΙΣΗΣ ΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΥΠΟΥ SCHRODINGER ΣΕ ΕΝΑΝ ΜΗΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟ ΧΩΡΙΟ ΜΕ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ DIRICHLIT. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΥΜΕ ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ, ΟΙ ΟΠΟΙΕΣ ΒΑΣΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΑΤΑΛΛΗΛΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟΥ ΣΥΝΟΡΟΥ. ΤΕΛΟΣ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΣΕ ΜΗ ΔΙΑΚΡΙΤΗ L2 - ΣΤΑΘΜΗ.