On the simulation of steady and unsteady incompressible flows using the finite volume approach and artificial compressibility concept on hybrid unstructured girds

Abstract

In this study the development and evaluation of a Computational Fluid Dynamics (CFD) code for the simulation of incompressible flows is reported. The code, named Galatea-I after the sea-nymph of ancient Greek mythology, utilizes the Navier-Stokes equations, augmented with the artificial compressibility method – which is considered superior to pressure-based methods such as SIMPLE, especially in case of steady state flows – for the simulation of inviscid, laminar and turbulent viscous incompressible flows, of steady or unsteady nature. For the simulation of turbulence the Reynolds Averaged form of the Navier-Stokes (RANS) is used, where the stress tensor in the viscous fluxes vector is analyzed with the Boussinesq assumption in a laminar and a turbulent part. For the evaluation of the turbulent kinematic energy and the turbulent kinematic viscosity the SST turbulence model has been incorporated in the Galatea-I solver. The flow model, as well as the turbulence model equations are discretized in space over three dimensional hybrid unstructured grids with a node-centered, Finite Volume (FV) scheme. For the evaluation of inviscid fluxes Roe’s approximate Riemann solver is used, while for the calculation of the velocity gradients, which are required for the evaluation of the viscous fluxes, either an element based approach, or a nodal averaging method is used. Free-slip or no-slip conditions are imposed on solid boundaries, while at the inlet or outlet boundaries a characteristics based boundary conditions scheme has been incorporated. Time integration in pseudo-time is performed with an explicit four-stage Runge-Kutta (RK(4)) scheme, while for the time-accurate evaluation of unsteady flows a dual time-stepping scheme is adopted. Two acceleration techniques have been applied in the Galatea-I solver. Firstly, via parallel processing with the domain decomposition approach, where the initial computational grid is divided into smaller sub-domains, each attributed to a single computer core and treated as an autonomous grid with inner boundaries, where information from adjacent grids is passed via the Message Passing Interface (MPI). Secondly, with an agglomeration multigrid method, where a number of consecutively coarser meshes are generated by fusing adjacent control volumes of the finer meshes and evaluation of the governing equations is performed successively on all generated and initial meshes, thus enhancing the convergence rate of the iterative procedures. The performance of the Galatea-I solver was assessed with a number of steady and unsteady test cases, demonstrating the capabilities of the proposed methodologies in accuracy and efficiency. While many of the utilized test cases can be characterized as standard for the evaluation of incompressible flow solvers, the proposed code was used against more complex ones, such as the DARPA SUBOFF model and the DLR-F11 aircraft model in high lift configuration. As far as the latter test case is concerned, although it constitutes a test case where traditionally compressible flow solvers with preconditioning matrices are evaluated, the Galatea-I solver has generated excellent results.

Σε αυτή τη διατριβή παρουσιάζεται η ανάπτυξη και αξιολόγηση ενός κώδικα Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής (CFD) για την προσομοίωση ροών ασυμπίεστου ρευστού. Ο κώδικας, που ονομάστηκε Galatea-I από τη νύμφη της αρχαίας ελληνικής μυθολογίας, χρησιμοποιεί τις εξισώσεις Navier-Stokes για ασυμπίεστα ρευστά, τροποποιημένες με τη μεθοδολογία της Τεχνητής Συμπιεστότητας (artificial compressibility) – που θεωρείται ανώτερη από τις μεθοδολογίες που χρησιμοποιούν διόρθωση της πίεσης για την συντήρηση της συνθήκης μη συμπίεσης του ρευστού, όπως η SIMPLE, ειδικά στην περίπτωση μόνιμων ροών – για την προσομοίωση ατριβών, στρωτών συνεκτικών και τυρβωδών ροών ασυμπίεστου ρευστού, μόνιμης αλλά και μη μόνιμης κατάστασης. Για την προσομοίωση της τύρβης γίνεται χρήση των Σταθμισμένων κατά Reynolds εξισώσεων Navier-Stokes (RANS), ενώ ο τανιστής των τάσεων που βρίσκεται στο συνεκτικό διάνυσμα ροής αναλύεται με βάση την υπόθεση Boussinesq σε δύο μέρη – ένα στρωτό και ένα τυρβώδες. Για τον υπολογισμό της τυρβώδους κινητικής ενέργειας και της τυρβώδους κινηματικής συνεκτικότητας γίνεται χρήση του μοντέλου τύρβης SST. Για τη χωρική διακριτοποίηση του μοντέλου ροής αλλά και του μοντέλου τύρβης εφαρμόστηκε ένα κεντροκομβικό σχήμα πεπερασμένων διαφορών σε τρισδιάστατα υβριδικά μη δομημένα πλέγματα. Ο υπολογισμός των ατριβών διανυσμάτων ροής γίνεται με τον προσεγγιστικό επιλύτη του Roe για προβλήματα Riemann, ενώ οι μερικές παράγωγοι της ταχύτητας που είναι απαραίτητες για την εκτίμηση των συνεκτικών διανυσμάτων ροής, υπολογίζονται είτε με τη χρήση μιας στοιχειοκεντρικής μεθόδου, είτε με μεθοδολογία ακμών. Οι οριακές συνθήκες που εφαρμόζονται στα στερεά όρια είναι είτε ολίσθησης για ατριβείς ροές, είτε μη ολίσθησης για συνεκτικές, ενώ στα όρια εισόδου και εξόδου του υπολογιστικού χωρίου εφαρμόζονται οριακές συνθήκες που βασίζονται στη μέθοδο των χαρακτηριστικών μεταβλητών. Η ολοκλήρωση των εξισώσεων στον ψευδό-χρόνο γίνεται με μια ρητή μέθοδο Runge-Kutta τεσσάρων βημάτων (RK(4)), ενώ για την προσομοίωση μη μόνιμων ροών έχει ενσωματωθεί στον κώδικα μια διαδικασία δυϊκού χρονικού βήματος. Δύο μέθοδοι επιτάχυνσης έχουν ενσωματωθεί στον επιλύτη Galatea-I. Αρχικά, μια μέθοδος παράλληλης επεξεργασίας που βασίζεται στη μέθοδο διαμέρισης πεδίου (domain decomposition), όπου το αρχικό υπολογιστικό πλέγμα χωρίζεται σε μικρότερα υποπεδία, καθένα εκ των οποίων ανατίθεται σε ένα πυρήνα του επεξεργαστή και διαχειρίζεται ως αυτόνομο πλέγμα με εσωτερικά όρια όπου κατάλληλη πληροφορία αποστέλλεται από τα γειτονικά υποπεδία με το πρωτόκολλο MPI. Η δεύτερη μέθοδος επιτάχυνσης βασίζεται στη μεθοδολογία πολυπλέγματος με συσσωμάτωση, κατά την οποία ένας αριθμός από διαδοχικά αραιότερα πλέγματα κατασκευάζονται συγχωνεύοντας γειτονικούς όγκους ελέγχου των πυκνότερων πλεγμάτων και η επίλυση των εξισώσεων ροής και τύρβης γίνεται διαδοχικά σε όλα τα διαθέσιμα πλέγματα διαφορετικής πύκνωσης, βελτιώνοντας κατ’ αυτό τον τρόπο το ρυθμό σύγκλισης των επαναληπτικών διαδικασιών. Οι επιδόσεις του επιλύτη Galatea-I αξιολογήθηκαν με τη εφαρμογή του σε ένα αριθμό υποθέσεων δοκιμής μόνιμης και μη μόνιμης ροής, παρουσιάζοντας έτσι τις δυνατότητες της προτεινόμενης μεθοδολογίας σε ακρίβεια και αποδοτικότητα. Αν και πολλές από τις υποθέσεις δοκιμής που χρησιμοποιήθηκαν χαρακτηρίζονται ως πρότυπες για την αξιολόγηση επιλυτών ασυμπίεστης ροής, ο προτεινόμενος κώδικας χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση πιο περίπλοκων προβλημάτων, όπως το μοντέλο DARPA SUBOFF, και το μοντέλο αεροσκάφους DLR-F11 σε διάταξη υψηλής άντωσης. Όσον αφορά την τελευταία περίπτωση, αν και αποτελεί πρόβλημα για την προσομοίωση του οποίου χρησιμοποιούνται παραδοσιακά επιλύτες συμπιεστής ροής με πίνακες προπαρασκευής για την αντιμετώπιση των χαμηλών αριθμών Mach, ο επιλύτης Galatea-I παρουσίασε εξαιρετικά αποτελέσματα.