Numerical analysis of stochastic differential equations with applications in financial mathematics and molecular dynamics

Abstract

In this thesis we are interested in the numerical solution of stochastic differential equations (SDE) with solutions in a certain domain. Our goal is to construct explicit numerical schemes that preserve that domain, mainly for cases where the coefficients of the SDEs are non-linear. It is well known that the forward Euler scheme diverges on super-linear problems and the tamed Euler method does not necessarily preserve the structure of the original problem. We propose a new numerical scheme, using the semi-discrete method, for various classes of stochastic differential equations. For some super-linear problems (like the Heston 3/2-model) as well as sub-linear (like the CEV model), which appear in the field of financial mathematics, we are able to construct a positivity preserving scheme. Moreover, we apply our method to problems arising in the field of molecular dynamics, where our structure preserving scheme is able to approximate effectively some SDEs which appear after a coarse graining procedure. We also consider the case of Stochastic Delay Differential Equations (SDDEs) with non-negative solutions. Again we aim for explicit numerical schemes that preserve positivity. We expand the semi-discrete method from the Stochastic Ordinary Differential Equations (SODE) setting and apply it to the constant delay case, for which we prove strong convergence (DGBM model). Numerical experiments support our theoretical results.

Σε αυτή τη διατριβή αντικείμενο έρευνας είναι η αριθμητική επίλυση στοχαστι- κών διαφορικών εξισώσεων (ΣΔΕ), οι οποίες έχουν λύση σε ένα συγκεκριμένο χωρίο. Ο στόχος μας ειναι η κατασκευή άμεσων αριθμητικών σχημάτων τα οποία διατηρούν αυτό το χωρίο, κυρίως σε περιπτώσεις όπου οι συντελεστές των ΣΔΕ είναι μη-γραμμικοί. Είναι γνωστό ότι το με βήμα προς τα εμπρός σχήμα Euler αποκλίνει σε υπερ- γραμμικά προβλήματα και η ελεγχόμενη μέθοδος Euler δε διατηρεί απαραίτητα τη δομή του αρχικού προβλήματος. Προτείνουμε ένα νέο αριθμητικό σχήμα, χρησιμοποιώντας την Ημι-Διακριτή μέθοδο, για διάφορες κλάσεις στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων. Για κάποια υπεργραμμικά προβλήματα (όπως το Heston 3/2-μοντέλο) καθώς και για υπο- γραμμικά (όπως το CEV μοντέλο), τα οποία εμφανίζονται στο πεδίο των χρημα- τοοικονομικών μαθηματικών, κατασκευάζουμε ένα αριθμητικό σχήμα το οποίο διατηρεί τη θετικότητα. Παραπέρα, εφαρμόζουμε τη μέθοδο μας σε προβλήματα τα οποία εμφανίζονται στο πεδίο των μοριακών δυναμικών, όπου το προτει- νόμενο σχήμα το οποίο διατηρεί τη δομή της αρχικής εξίσωσης προσεγγίζει αποτελεσματικά κάποιες ΣΔΕ οι οποίες προκύπτουν έπειτα από μια διαδικασία απλοποίησης (coarse graining ). Θεωρούμε επίσης την περίπτωση Στοχαστικών Διαφορικών Εξισώσεων με Υστέρηση με μη-αρνητικές λύσεις. Ξανά στόχος μας είναι άμεσα αριθμητικά σχήματα τα οποία διατηρούν τη θετικότητα. Επεκτείνουμε την Ημι-Διακριτή μέθοδο από το πλαίσιο των Συνήθων ΣΔΕ στην περίπτωση με σταθερή υστέρηση, όπου και αποδεικνύουμε ισχυρή σύγκλιση (μοντέλο DGBM). Αριθμητικά πειράματα υποστηρίζουν τα θεωρητικά μας αποτελέσματα.