Σπινοριακή σύμπλεξη, δυναμική χορδών και γεωμετρία

Abstract

It was noticed as early as 1936 by Von Neumann and Birkhoff that quantum mechanics needs a non-Boolean logical structure. In this dissertation, it is considered that this new logic is the relational logic of C. S. Peirce, which bears great resemblance to category theory. At first place, we show that a relation can be represented by a spinor and then we use the Cartan-Penrose formalism, in which symmetries and spacetime are represented by spinors. In particular, we propose the spinor representation of both a string worldsheet and an Anti-de Sitter spacetime. Our spinor reconstruction of the string dynamics solves effectively the constraints and allows us to use only the real, independent degrees of freedom. Then, we go a step further and consider the spinors not just as a representation, but as the building block of spacetime. A single spinor gives rise to the Minkowski null cone. We study the coupling of two Weyl spinors and the emerging geometry. There are two ways to couple two spinors, a Majorana-type coupling (between same chirality spinors) and a Dirac-type coupling (between a left-handed spinor and a right-handed spinor). We find that the Majorana-type coupling leads to an entangled state respecting the well known entanglement rules. On the other hand the Dirac-type coupling generates an extra dimension, withing which two branes coexist and the distance between the branes is determined by quantum entanglement. By construction one brane hosts left-handed particles (our brane), while the other brane hosts right-handed particles. The conventional way to restore left-right symmetry is to introduce an extra gauge group in the energy desert above the scale of the standard interactions. Within our approach the left-right symmetry is achieved with the extra dimension hosting two “mirror” branes. Also, the neutrino appears as the ideal mediator between the branes. Finally, within our model everything on the other brane and in the bulk appears as dark matter or dark energy to us. Our scheme brings closer logic-quantum theory-geometry and allows addressing foundational questions regarding the evolution of the universe.

Έχει παρατηρηθεί ήδη από το 1936 από τους Von Neumann και Birkhoff ότι η κβαντική μηχανική χρειάζεται μια νέα λογική δομή, η οποία να διαφοροποιείται από την λογική του Boole της κλασικής μηχανικής. Σε αυτή τη διδακτορική διατριβή, θεωρούμε ότι αυτή η νέα λογική είναι η λογική των σχέσεων του C. S. Peirce, η οποία σε μεγάλο βαθμό είναι ταυτόσημη με τη θεωρία κατηγοριών. Αρχικά δείχνουμε ότι μπορούμε να αναπαραστήσουμε μια σχέση με ένα σπίνορ και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον φορμαλισμό των Cartan και Penrose, όπου τα σπίνορς χρησιμοποιούνται στην αναπαράσταση των συμμετριών και του χωρόχρονου. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιούμε τα σπίνορς για να κατασκεύασουμε αναπαραστάσεις του κοσμικού φύλλου μιας χορδής και του χωρόχρονου Anti-de Sitter. Κατ' αυτόν τον τρόπο, στην περίπτωση της χορδής, λύνοντας άμεσα τους περιορισμούς χρησιμοποιούμε μόνο τους πραγματικούς βαθμούς ελευθερίας. Στη συνέχεια προχωρούμε ένα βήμα παραπάνω και θεωρούμε ότι τα σπίνορς δεν μας βοηθάνε απλά στην αναπαράσταση του χωρόχρονου αλλά, συγκροτούν και κατασκεύαζουν τον χωρόχρονο. Γνωρίζοντας ότι ένα σπίνορ μόνο του σχετίζεται με τον κώνο φωτός του χωρόχρονου Minkowski, αναζητήσαμε την γεωμετρία που προκύπτει από την σύζευξη δύο σπίνορς. Η σύζευξη δύο σπίνορς μπορεί να επιτευχθεί είτε ακολουθώντας την συνταγή του Majorana (σύζευξη δύο σπίνορς της ίδιας χειραλικότητας) είτε ακολουθώντας την συνταγή του Dirac (σύζευξη ανάμεσα ενός δεξιόστροφου και ενός αριστερόστροφου σπίνορ). Η σύζευξη τύπου Majorana αναπαράγει την γνωστή μας θεωρία κβαντικής σύμπλεξης. Από την άλλη πλευρά, η σύζευξη τύπου Dirac μας οδηγεί σε ένα χωρόχρονο με μια επιπλέον διάσταση, στην οποία συνυπάρχουν δύο μεμβράνες, με την απόσταση ανάμεσα τους να προσδιορίζεται από το μέγεθος της κβαντικής σύμπλεξης. Η μία μεμβράνη (η δική μας) φιλοξενεί αριστερόστροφα σωματίδια, ενώ η άλλη φιλοξενεί δεξιόστροφα σωματίδια. Σύμφωνα με την προσέγγισή μας, η συμμετρία αριστερά-δεξιά επιτυγχάνεται έχοντας την επιπλέον διάσταση να φιλοξενεί δύο “καθρεπτικές” μεμβράνες, ενώ με τον παραδοσιακό τρόπο επιτυγχάνεται εισάγοντας μια επιπλέον ομάδα βαθμίδας στην ενεργειακή έρημο πάνω από τις καθιερωμένες αλληλεπιδράσεις. Επίσης, το σωματίδιο του νετρίνο εμφανίζεται ως ο ιδανικός διαμεσολαβητής ανάμεσα στις δύο μεμβράνες. Τέλος, στα πλαίσια του μοντέλου μας, ότι υπάρχει στην άλλη μεμβράνη και στην επιπλέον διάσταση εμφανίζεται σε εμάς ως σκοτεινή ύλη ή σκοτεινή ενέργεια. Η προσέγγισή μας συνδέει λογική - κβαντική μηχανική - γεωμετρία και μας επιτρέπει να ασχοληθούμε με θεμελιώδη ερωτήματα για την εξέλιξη του σύμπαντος.