Ποιοτική μελέτη λύσεων μη γραμμικών ελλειπτικών συστημάτων

Abstract

In chapter 1, we present some basic notions related to the vector AllenCahn equation. In chapter 2, under appropriate hypotheses, we rigorously derive the Plateau angle conditions at triple junctions of diused interfaces in four dimensions, starting from the vector-valued Allen–Cahn equation with a triple-well potential. Our derivation is based on an application of the divergence theorem using the divergence-free form of the equation via an associated stress tensor. In chapter 3, a maximum principle is established for minimal solutions to the system ∆u−∇W(u) = 0, with a potential W vanishing at the boundary of a closed convex set C0 ⊂Rm, which is either C2 smooth or coincides with a point {a}. In chapter 4, we establish two necessary conditions for the existence of bounded one dimensional minimizers u: the potential W must have a global minimum supposed to be 0 without loss of generality, and W(u(x)) → 0 as |x| → ∞. Furthermore, non constant minimizers connect at ±∞ two distinct components of the set {W = 0}. We also prove, when the previous assumptions are satised, the existence of nontrivial minimizers and we show the existence of heteroclinic, homoclinic and periodic orbits in analogy with the scalar case. Finally, we study the asymptotic convergence of these solutions.

Στο κεφάλαιο 1, παρουσιάζουμε κάποιες βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη διανυσματική Allen-Cahn εξίσωση. Στο κεφάλαιο 2, υπό συγκεκριμένες υποθέσεις, αποδεικνύουμε αυστηρά τις συνθήκες γωνιών Plateau στις τριπλές συμβολές διάχυτων διεπιφανειών στις τέσσερεις διαστάσεις, εκκινώντας από τη διανυσματική Allen-Cahn εξίσωση με ένα τριπλού φρεατίου δυναμικό. Η απόδειξη βασίζεται στην εφαρμογή του θεωρήματος απόκλισης κάνοντας χρήση της μηδενικής απόκλισης ενός τανυστή τάσης που συνδέεται με την εξίσωσή μας. Στο κεφάλαιο 3, αποδεικνύουμε μιαν αρχή μεγίστου για ελαχιστικές λύσεις του συστήματος ∆u−∇W(u) = 0, με ένα δυναμικό W που μηδενίζεται στο σύνορο ενός κλειστού κυρτού συνόλου C0 ⊂Rm, που είναι είτε C2 ομαλό ή αποτελεί ένα μεμονωμένο σημείο {a}. Στο κεφάλαιο 4, αποδεικνύουμε δύο αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη φραγμένων μονοδιάστατων ελαχιστοποιητών u: το δυναμικό W πρέπει να έχει ολικό ελάχιστο έστω ίσο με 0 χωρίς βλάβη της γενικότητας, και επίσης W(u(x)) → 0 καθώς|x|→∞. Επιπροσθέτως, μη τετριμμένοι ελαχιστοποιητές συνδέουν στα ±∞ δύο διαφορετικές συνιστώσες του συνόλου {W = 0}. Αποδεικνύουμε επίσης, όταν οι προηγούμενες υποθέσεις ικανοποιούνται, την ύπαρξη μη τετριμμένων ελαχιστοποιητών και δείχνουμε την ύπαρξη ετεροκλινών, ομοκλινών και περιοδικών τροχιών κατ ΄ αναλογίαν με την διανυσματική περίπτωση. Στο τέλος, μελετούμε την ασυμπτωτική σύγκλιση αυτών των λύσεων.