Δομικές διεργασίες και εφαρμογές της θεωρίας διάχυσης σε συστήματα πολλαπλής κλίμακας που παρουσιάζουν στοχαστικά φαινόμενα

Abstract

This thesis consists of two parts: in the first part, structural processes with respect to the connectivity of systems of different sizes are studied and their critical properties are calculated (chapters 2,3 and 4). In the second part, diffusion theory is applied to various types of systems and under different constraints (chapters 5, 6 and 7).Chapter 1 introduces the reader to the general characteristics of the systems to be studied and the basic theoretical tools for the subsequent calculations.In Chapter 2, explosive site percolation on a square lattice is investigated to estimate the order of the transition at the critical point. The results show that it is a continuous process with very small critical exponent β/ν. The continuity is also confirmed from the reversibility of the process at infinity.In Chapter 3, a novel method is developed for the estimation of the critical point and the critical exponents for percolation processes and small populations of data. It is tested on a hybrid model which interpolates between random and explosive bond percolation. The results indicate that this method provides estimates of these quantities with comparable accuracy to the case of much larger number of runs.In Chapter 4, explosive bond percolation is extended to the case of multiplex systems, showing a smooth behavior in contrast to the abrupt transition for the isolated systems. Moreover, by increasing the number of layers, it is found that the process tends to be equivalent to the random percolation.In Chapter 5, a model of two types of particles with different priorities is studied on networks and a strategy for avoiding the high connectivity nodes is developed which increases the efficiency of the low priority particles mobility. Also, the case where there is a limit in the load capacity of each node is investigated showing significant improvement for the lower priority particles mobility compared to the unrestricted case.In Chapter 6, diffusion is applied on a two-level interconnected system and the mixing rate is studied. It is shown that the rate increases with the interconnection density and homogeneity of the systems on each layer.Finally, in Chapter 7, diffusion is applied in multiplex networks to investigate the existence of any abrupt structural change and the observability of such transitions from suitable characteristic times. The results indicate a continuous behavior as the value of interlink strength p increases. This is also manifested in the behavior of the average shortest path length as a function of p. Thus, there is no evidence of an abrupt transition in such systems.

Η διατριβή αποτελείται από δύο μέρη: στο πρώτο, μελετώνται δομικές διεργασίες συναρτήσει της συνδεσιμότητας συστημάτων διαφορετικών μεγεθών και υπολογίζεται η κρίσιμη συμπεριφορά τους (κεφάλαια 2,3 και 4). Στο δεύτερο μέρος, εφαρμόζεται η θεωρία διάχυσης σε διάφορους τύπους συστημάτων και κάτω από διαφορετικούς περιορισμούς (κεφάλαια 5, 6 και 7).Το κεφάλαιο 1 εισάγει τον αναγνωστη στα γενικά χαρακτηριστικά των συστημάτων που πρόκειται να μελετηθούν καθώς και στα βασικά θεωρητικά εργαλεία που θα χρησιμοποιηθούν στους υπολογισμούς.Στο κεφάλαιο 2, μελετάται η εκρηκτική διήθηση θέσης σε τετραγωνικό πλέγμα ώστε να προσδιοριστεί η τάξη της μεταβολής φάσης στο κρίσιμο σημείο. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι πρόκειται για μια συνεχή διεργασία με πολύ μικρό εκθέτη β/ν. Η συνεχής φύση της διεργασίας επιβεβαιώνεται και από την αντιστρεψιμότητά της για άπειρα σε μέγεθος συστήματα.Στο κεφάλαιο 3, αναπτύσσεται μια νέα μέθοδος για την εκτίμηση του κρίσιμου σημείου και των κρίσιμων εκθετών για διεργασίες διήθησης, σε μικρούς πληθυσμούς δεδομένων. Εφαρμόζεται σε ένα υβριδικό σύστημα που παλινδρομεί ανάμεσα στην τυχαία και την εκρηκτική διήθηση δεσμού. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι η μέθοδος δίνει εκτιμήσεις των παραπάνω ποσοτήτων αντίστοιχης ακρίβειας με αποτελέσματα από πολύ μεγάλους πληθυσμούς δεδομένων.Στο κεφάλαιο 4, η εκρηκτική διήθηση δεσμού επεκτείνεται σε πολλαπλά συστήματα, επιδεικνύοντας μία ομαλή συμπεριφορά σε σύγκριση με την απότομη των απομονωμένων συστημάτων. Επιπλέον, με αύξηση του αριθμού των επιπέδων, φαίνεται πως η διεργασία τείνει να γίνει ισοδύναμη με την τυχαία διήθηση.Στο κεφάλαιο 5, μελετάται σε δίκτυα ένα μοντέλο προτεραιοτήτων δύο τύπων σωματιδίων και αναπτύσσεται μία στρατηγική για την αποφυγή των κόμβων υψηλής συνδεσιμότητας, που οδηγεί στην βελτίωση της κινητικότητας των σωματιδίων χαμηλής προτεραιότητας. Επιπλέον, εξετάζεται η περίπτωση που κάθε κόμβος μπορεί να δεχθεί ένα περιορισμένο φορτίο, εμφανίζοντας σημαντική βελτίωση για την κινητικότητα των σωματιδίων χαμηλής προτεραιότητας σε σύγκριση με την περίπτωση που δεν υφίσταται αυτός ο περιορισμός.Στο κεφάλαιο 6, εφαρμόζεται η θεωρία της διάχυσης σε ένα διασυνδεδεμένο σύστημα δύο επιπέδων και ερευνάται η ταχύτητα μίξης. Αναδεικνύεται ότι η ταχύτητα αυτή αυξάνεται με την αύξηση της πυκνότητας διασυνδέσεων και της ομοιογένειας των διασυνδεόμενων συστημάτων.Τέλος, στο κεφάλαιο 7, εφαρμόζονται διεργασίες διάχυσης σε πολλαπλά συστήματα για να ερευνηθεί η ύπαρξη απότομης δομικής μεταβολής σε αυτά και η δυνατότητα παρατήρησής της μέσω κατάλληλων χαρακτηριστικών χρόνων. Τα αποτελέσματα υποδεικνύουν μία συνεχή συμπεριφορά συναρτήσει του βάρους διασύνδεσης p. Η ίδια συμπεριφορά αντανακλάται και στο μέσο μήκος ελάχιστης διαδρομής. Συνεπώς, δεν υπάρχουν στοιχεία που να συνηγορούν σε μία απότομη δομική μεταβολή για αυτά τα συστήματα για κάποια τιμή της παραμέτρου p.