Η εφαρμογή Lie – point συμμετριών στην κλασσική και κβαντική κοσμολογία

Abstract

In this paper we attempt to demonstrate the importance of symmetries both at the classical and quantum level. The originality of this work rests in the generalization of the theory of symmetries (of the action and the equations of motion) in systems with constraints. All theories that exhibit a gauge freedom, result from actions characterized by singular Lagrangians. The corresponding freedom for General Relativity (GR) is the invariance of the theory under random (but sufficiently smooth) diffeomorphisms. This means that four out of ten of Einstein's equations are constriants for the system. The various cosmological models that can be described by equivalent mechanical systems carry a subset of this freedom, as applications of GR. This led us to search for a method in order to extend the theory from regular systems to singular. In both of them these symmetries are conserved quantities, with the difference that for singular systems this may hold due to the constraints. After the classical treatment where we export these integrals of motion, the next step is to consider them as quantum measurable quantities. By following Dirac's line of thinking we construct the corresponding Hermitian operators defining the eigen-equations of the wave-function. Of course the number of operands that can be used in a representation in this way is bound by the dimension of the configuration space and the requirement of finding a non-trivial solution for the wavefunction. The latter leads to an integrability condition, whose satisfaction determines the operator algebra of the measured physical quantities. In an effort to extend the theory of quantization of individual geometries to broader geometrical classes, we are led to study a system whose wave-function is used to define a generalized probability. The latter is proven to exhibit its probable for extrema over the classical trajectories of the initial cosmological model under consideration. Some examples of quantizing individual geometries and geometrical classes are given.

Με αυτή την εργασία επιχειρούμε να καταδείξουμε τη δεσπόζουσα σημασία των συμμετριών τόσο σε κλασσικό όσο και σε κβαντικό επίπεδο. Η πρωτοτυπία της παρούσας εργασίας έγκειται στην επέκταση της θεωρίας για αναζήτηση συμμετριών (της δράσης αλλά και των εξισώσεων κίνησης) σε συστήματα που παρουσιάζουν δεσμούς. Όλες οι θεωρίες που παρουσιάζουν κάποιου είδους ελευθερία βαθμίδας, προκύπτουν από δράσεις που χαρακτηρίζονται από ιδιάζουσες Λαγκρανζιανές. Η αντίστοιχη ελευθερία για τη Γενική Σχετικότητα είναι η αναλλοιώτητα της θεωρίας κάτω από τυχαίες (αλλά επαρκώς ομαλές) αμφιδιαφορίσεις. Αυτό έχει ως συνέπεια τέσσερις εκ των δέκα εξισώσεων του Einsteinv να αποτελούν δεσμούς για το σύστημα. Τα διάφορα κοσμολογικά πρότυπα που μπορούν να προκύψουν ως μηχανικά συστήματα από μια απομείωση των βαθμών ελευθερίας, όντας εφαρμογές της ΓΣ, μεταφέρουν ένα υποσύνολο αυτής της ελευθερίας. Αυτό μας οδήγησε στην αναζήτηση μιας μεθόδου ώστε να επεκταθεί η θεωρία ανεύρεσης συμμετριών από τα ομαλά συστήματα στα ιδιάζοντα. Όπως στα πρώτα, έτσι και στα τελευταία πρόκειται για διατηρήσιμες ποσότητες, με τη διαφορά ότι στη δεύτερη περίπτωση η διατηρησιμότητα μπορεί να οφείλεται και στους δεσμούς.Αφού σε κλασσικό επίπεδο καταφέρουμε να εξάγουμε τα ολοκληρώματα της κίνησης αυτά, το επόμενο βήμα είναι η θεώρησή τους ως κβαντικά μετρήσιμες ποσότητες. Αυτό κατά τον Dirac σημαίνει την αντιστοίχισή τους σε γραμμικούς Ερμιτιανούς τελεστές που ορίζουν εξισώσεις ιδιοκαταστάσεων επί της κυματοσυνάρτησης. Φυσικά το πλήθος των τελεστών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε μία αναπαράσταση με αυτό τον τρόπο, φράσσεται από τη διάσταση του θεσεογραφικού χώρου και την απαίτηση ανεύρεσης μη τετριμμένης λύσης για την κυματοσυνάρτηση. Η τελευταία μας οδηγεί σε μια συνθήκη ολοκληρωσιμότητας, της οποίας η ικανοποίηση καθορίζει την άλγεβρα των τελεστών των υπό μέτρηση φυσικών ποσοτήτων.Στην προσπάθεια να επεκτείνουμε τη θεωρία, από την κβάντωση μεμονωμένων γεωμετριών σε κλάσεις γεωμετρίας, οδηγούμαστε στη μελέτη ενός συστήματος του οποίου η κυματοσυνάρτηση χρησιμοποιείται για τον ορισμό μιας γενικευμένης πιθανότητας. Η τελευταία αποδεικνύουμε ότι παρουσιάζει τα πιθανά της ακρότατα επί των κλασσικών λύσεων του αρχικού κοσμολογικού προτύπου.Παρατίθενται ορισμένα παραδείγματα κβάντωσης μεμονωμένων γεωμετριών αλλά και κλάσεων γεωμετρίας.