Self-affine fractals: deterministic and random constructions

Abstract

This thesis is a study of dimensional properties of deterministic and random self-affine sets. Strictly self-affine sets (deterministic constructions) are considered in Chapter 1, while Chapter 2 deals with statistically self-affine sets (random constructions).In Chapter 1 we consider self-affine sets generated by affine transformations S1,…,SN subject to certain restrictions. The self-affine set is the unique nonempty compact set Λ satisfying Λ = S1(Λ) U…U SN(Λ). We determine the box and Hausdorff dimensions of such sets and give necessary and sufficient conditions for the box dimension to equal the Hausdorff dimension. These same conditions are also necessary and sufficient for the Hausdorff measure of the set to be positive and finite. In most cases these conditions are not satisfied; so typically the two dimensions are not equal and the Hausdorff measure of the set is either zero or infinite. Even though the sets considered in Chapter 1 are deterministic the methods used are largely probabilistic. In particular, we use a continuous projection, mapping sequence space onto the self-affine set under consideration, to define certain measures on the plane, which correspond to distributions of sequences of i.i.d. random vectors (variables) in sequence space.In Chapter 2 we consider a class of statistically self-affine sets in the plane, obtained by a random recursive Cantor-type construction the first stage of which consists of dividing the unit square into equal rectangles and choosing a random subcollection of them according to some probability distribution F. Under certain conditions on F the limit set is nonempty with positive probability. We then show that, with probability one, the box dimension of the self-affine limit set is equal to a deterministic constant (given that it is nonempty) and determine the value of this constant. A central role in the dimension calculation is played by certain branching processes with random environments.

Η διατριβή αυτή είναι μία μελέτη ιδιοτήτων που σχετίζονται με διάσταση προσδιοριστικών και τυχαίων αυτό-αφφινικών συνόλων. Αυστηρά αυτό-αφφινικά σύνολα (μη τυχαίες κατασκευές) θεωρούνται στο Κεφάλαιο 1, ενώ το Κεφάλαιο 2 πραγματεύεται στατιστικά αυτό-αφφινικά σύνολα (τυχαίες κατασκευές).Στο Κεφάλαιο 1 θεωρούμε αυτό-αφφινικά σύνολα που γεννώνται από αφφινικούς μετασχηματισμούς S1,…,SN που υπόκεινται σε κάποιους συγκεκριμένους περιορισμούς. Το αυτό-αφφινικό σύνολο είναι το μοναδικό μη κενό συμπαγές σύνολο Λ που ικανοποιεί την Λ = S1(Λ) U…U SN(Λ). Προσδιορίζουμε τις διαστάσεις Minkowski (box dimension) και Hausdorff τέτοιων συνόλων και δίνουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε η διάσταση Minkowski να ισούται με την διάσταση Hausdorff. Οι ίδιες αυτές συνθήκες είναι επίσης και ικανές και αναγκαίες ώστε το μέτρο Hausdorff του συνόλου να είναι θετικό και πεπερασμένο. Στις περισσότερες περιπτώσεις οι συνθήκες αυτές δεν ικανοποιούνται. έτσι συνήθως οι δύο διαστάσεις δεν είναι ίσες και το μέτρο Hausdorff του συνόλου είναι μηδέν ή άπειρο. Αν και τα σύνολα που θεωρούνται στο Κεφάλαιο 1 είναι προσδιοριστικά (μη τυχαία) οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται είναι σε ένα μεγάλο βαθμό πιθανοθεωρητικές. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιούμε μία συνεχή προβολή, που απεικονίζει κάποιον χώρο ακολουθιών επί του θεωρούμενου αυτό-αφφινικού συνόλου, ώστε να ορίσουμε κάποια μέτρα πιθανότητας στο επίπεδο, που αντιστοιχούν σε κατανομές ακολουθιών ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων διανυσμάτων (μεταβλητών) στον χώρο ακολουθιών.Στο Κεφάλαιο 2 θεωρούμε μία κλάση στατιστικά αυτό-αφφινικών συνόλων στο επίπεδο, που προκύπτουν από μια τυχαιοποιημένη αναδρομική κατασκευή τύπου Cantor, το πρώτο βήμα της οποίας συνίσταται από τον χωρισμό του μοναδιαίου τετραγώνου σε ίσα ορθογώνια παραλληλόγραμμα και επιλογή μιας τυχαίας υποοικογένειας αυτών σύμφωνα με κάποια κατανομή πιθανότητας F. Υπό κάποιες προϋποθέσεις για την F το οριακό σύνολο είναι μη κενό με θετική πιθανότητα. Κατόπιν αποδεικνύουμε ότι, με πιθανότητα ένα, η διάσταση Minkowski (box dimension) του αυτό-αφφινικού οριακού συνόλου είναι ίση με μία προσδιοριστική (μη τυχαία) σταθερά (δεδομένου ότι είναι μη κενό) και προσδιορίζουμε την τιμή αυτής της σταθεράς. Κεντρικό ρόλο στον υπολογισμό της διάστασης παίζουν κάποιες κλαδωτές ανελίξεις με τυχαίο περιβάλλον.