Τελεστές σύνθεσης και ημιομάδες σε χώρους αναλυτικών συναρτήσεων του ημιεπιπέδου

Abstract

In the first chapter we give the definitions of the spaces, functions and operators that we use along with main concepts and properties. In the second chapter we consider the topological space of bounded composition operators on the Hardy space of the half plane with inner product, in the operator norm topology. The study of such spaces initiated on Hardy spaces of the disk by Berkson, Shapiro, Sundberg, MacCluer and still continues on various spaces of functions. However this is the first time we have results on spaces of analytic functions on the half plane. We relate the isolation of a composition operator with the way the boundary values of the function that induce it approach the boundary. We show that if two composition operators belong to the same component, then the functions that induce them have the same nontangential limits and the same angular derivatives on the boundary, and that the converse is not always true. In the third chapter we study semigroups of bounded composition operators on the Hardy spaces of the half plane which induced by semigroups of analytic functions from the half plane to the half plane. First Berkson and Porta at 1978 gave results on such semigroups of analytic functions on the half plane and on the disk along with results on the semigroups of composition operators that induce on Hardy spaces of the disk but not of the half plane. Here we continue their work. First we identify the semigroups of bounded composition operators on the Hardy spaces of the half plane along with their norms. We prove that any such semigroup is strongly continuous and we identify the generator and its point spectrum. As an application we find the norm, the point spectrum and the spectrum of a Volterra-type operator. Motivation for the fourth chapter was a result of Hardy on the arithmetic means of the Fourier coefficients of p-integrable functions on the unit circle. Considering as a starting point the corresponding question for p-integrable functions of the real axis, we study the Cesaro operator and its adjoint on Hardy spaces of the half plane. We identify them as resolvents for appropriate semigroups of composition operators and we find their norm and spectrum. Finally, their relation with the corresponding Cesaro operators on spaces of p-integrable functions of the real axis is also discussed, from which follows the corresponding result with that of Hardy’s for such functions.

Στο πρώτο κεφάλαιο δίνουμε τους ορισμούς των χώρων, των συναρτήσεων και των τελεστών που χρησιμοποιούμε μαζί με βασικές έννοιες και ιδιότητες. Στο δεύτερο κεφάλαιο θεωρούμε τον τοπολογικό χώρο των φραγμένων τελεστών σύνθεσης στο χώρο Hardy του ημιεπιπέδου με εσωτερικό γινόμενο, με τοπολογία αυτή της νόρμα τελεστών. Η μελέτη τέτοιων χώρων ξεκίνησε στους χώρους Hardy του δίσκου από τους Berkson, Shapiro, Sundberg, MacCluer και συνεχίζεται σε διάφορους χώρους συναρτήσεων. Αυτή όμως είναι η πρώτη φορά που παρουσιάζονται αποτελέσματα σε χώρους αναλυτικών συναρτήσεων του ημιεπιπέδου. Συνδέουμε την απομόνωση ενός τελεστή σύνθεσης με τον τρόπο που οι συνοριακές τιμές της συνάρτησης που τον επάγει πλησιάζουν το σύνορο. Δείχνουμε ότι αν δυο τελεστές σύνθεσης ανήκουν στην ίδια συνεκτική συνιστώσα, τότε οι συναρτήσεις που τους επάγουν έχουν ίδια μη εφαπτομενικά όρια και ίσες γωνιακές παραγώγους στο σύνορο, με το αντίστροφο να μην ισχύει πάντα. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετάμε ημιομάδες φραγμένων τελεστών σύνθεσης στους χώρους Hardy του ημιεπιπέδου που επάγονται από ημιομάδες αναλυτικών συναρτήσεων του ημιεπιπέδου στο ημιεπίπεδο. Πρώτοι οι Berkson και Porta το 1978 έδωσαν αποτελέσματα για τέτοιες ημιομάδες συναρτήσεων στο ημιεπίπεδο και στο δίσκο καθώς και για τις ημιομάδες τελεστών σύνθεσης που επάγουν στους χώρους Hardy του δίσκου αλλά όχι του ημιεπιπέδου. Εδώ συνεχίζουμε το έργο τους. Αρχικά καθορίζουμε τις ημιομάδες φραγμένων τελεστών σύνθεσης στους Hardy του ημιεπιπέδου και βρίσκουμε τις νόρμες τους. Αποδεικνύουμε ότι μια τέτοια ημιομάδα είναι ισχυρά συνεχής προσδιορίζοντας επίσης το γεννήτορα αυτής και το σημειακό του φάσμα. Ως εφαρμογή βρίσκουμε τη νόρμα, το σημειακό φάσμα και το φάσμα ενός μη συμπαγούς τελεστή τύπου Volterra. Έναυσμα για το τέταρτο κεφάλαιο ήταν ένα αποτέλεσμα του Hardy σχετικά με τους αριθμητικούς μέσους όρους των συντελεστών Fourier μιας p-ολοκληρώσιμης συνάρτησης στο μοναδιαίο κύκλο. Με αφετηρία το αντίστοιχο ερώτημα για p-ολοκληρώσιμες συναρτήσεις του πραγματικού άξονα, μελετάμε τον τελεστή Cesaro και το συζυγή του σε χώρους Hardy του ημιεπιπέδου. Δείχνουμε ότι οι τελεστές αυτοί μπορούν να προκύψουν ως επιλύοντες τελεστές κατάλληλων ημιομάδων τελεστών σύνθεσης και βρίσκουμε τη νόρμα και το φάσμα τους. Τέλος, εξετάζουμε τη σχέση αυτών με τους αντίστοιχους Cesaro σε χώρους p-ολοκληρώσιμων συναρτήσεων του πραγματικού άξονα, από την οποία έπεται το αντίστοιχο αποτέλεσμα με αυτό του Hardy για τέτοιες συναρτήσεις.