Θεωρητική και υπολογιστική μελέτη τρισδιάστατης ευστάθειας ροής με ελεύθερη συναγωγή παρουσία μαγνητικού πεδίου σε αγωγό ορθογωνικής διατομής

Abstract

Rayleigh-Bénard stability of a liquid metal layer of rectangular cross section is examined in the presence of a strong magnetic field that is aligned with the horizontal direction of the cross section. The latter is much longer than the vertical direction and the cross section assumes a large aspect ratio. The side walls are treated as highly conducting. Linear stability analysis is performed allowing for three dimensional instabilities that develop along the longitudinal direction. The finite element methodology is employed for the discretization of the stability analysis formulation while accounting for the electric conductivity of the box walls. The Arnoldi method provides the dominant eigenvalues and eigenvectors of the problem. In order to facilitate parallel implementation of the numerical solution at large Hartmann numbers, Ha, domain decomposition is employed along the horizontal direction of the cross section. As the Hartmann number increases a real eigenvalue emerges as the dominant unstable eigenmode, signifying the onset of thermal convection, whose major vorticity component in the core of the layer is aligned with the direction of the magnetic field. Its wavelength along the longitudinal direction of the layer is on the order of twice its height and decreases as Ha increases. The critical Grashof was obtained for large Ha and it was seen to scale like Ha2 signifying the balance between buoyancy and Lorentz forces. For well conducting side walls, the nature of the emerging flow pattern is determined by the combined conductivity of Hartmann walls and Hartmann layers, cH+Ha-1. When poor conducting Hartmann walls are considered, cH<<1, the critical eigensolution is characterized by well defined Hartmann and side layers. The side layers are characterized by fast fluid motion in the magnetic field direction as a result of the electromagnetic pumping in the vicinity of the Hartmann walls. Increasing the electric conductivity of the Hartmann walls was seen to delay the onset of thermal convection, while retaining the above scaling at criticality. Furthermore, for both conducting and insulating Hartmann walls and the entire range of Ha numbers that was examined, there was no tendency for a well defined quasi two dimensional structure to develop owing to the convective motion in the core. A connection is made between the above findings and previous experimental investigations indicating the onset of standing waves followed by travelling waves as Gr is further increased beyond its critical value. Asymptotic analysis of the dominant eigenmode performed at criticality confirms the above numerical findings while designates the onset of highly convective motion O(Ha) as the magnetic field increases. This motion is expected to play central role for the onset of secondary instabilities of hydrodynamic nature. Three dimensional stability of two dimensional vortical flow of a liquid metal in a cavity of square cross section is examined in order to identify the nature of the emerged time-dependent instability reported by Burr & Muller (2002). Vortices are produced as a result of free convection and internal heating in the cavity in the presence of a magnetic field. The low magnetic Reynolds equations are employed for the base flow and stability formulation. The finite element methodology is used for discretizing the problem. Efficient calculation of the dominant eigenvalues is afforded by the Arnoldi method while neutral stability diagrams are constructed using continuation techniques. The number of vortices exhibited by the base flow switches from one to two as the internal heating crosses a threshold value. The dominant instability mechanism is the Goertler instability for the case of a single vortex and the elliptical instability in the case of two vortices. In the elliptic instability axial vorticity is symmetric, is characterized by two lobed structures aligned with one of the two principal directions of strain and the dominant eigenmode assumes the form of a travelling wave. The magnetic field opposes buoyancy, alters the direction of maximal strain by accentuating wall shear layers in comparison with the vortex pair in the core, and leads to smaller frequencies at criticality. The above flow configuration is assessed to play important role for the onset of travelling wave modes as indicated by experiments of Burr & Muller (2002) with a slight increase of Gr beyond the threshold value. Finally, nonlinear analysis is carried out of the flow arrangement that was examined by Burr & Muller (2002), seeking a description of the nonlinear evolution of unstable modes beyond criticality, coupling finite element methodology with a spectral approach for the periodic direction of flow. The latter is determined by the configuration that emerges after the onset of the initial thermal instability. A semiimplicit time integration scheme is employed, with the nonlinear convective terms treated explicitly using second order Adams-Bashforth method and linear terms treated in an implicit manner using second order accurate Crank-Nicolson so that decoupling of the different spectral modes is possible while favoring parallel treatment of the solution process. Objective of this study is the investigation for the onset of saturation that corresponds to the initial thermal instability, identifying the kind of branch that causes as well as the effect on the heat transfer through the liquid metal layer.

Στην παρούσα διατριβή εξετάζεται η ευστάθεια Rayleigh-Benard στρώματος υγρού μετάλλου σε αγωγό ορθογωνικής διατομής μεγάλης όψεως παρουσία ισχυρού και οριζόντιου μαγνητικού πεδίου. Τα πλευρικά τοιχώματα χαρακτηρίζονται από υψηλή ηλεκτρική αγωγιμότητα. Εφαρμόζεται γραμμική ανάλυση ευστάθειας επιτρέποντας τριδιάστατες διαταραχές που αναπτύσσονται κατά μήκος της αξονικής κατεύθυνσης. Υιοθετείται η μεθοδολογία των πεπερασμένων στοιχείων για τη διακριτοποίηση του προβλήματος ευστάθειας ενώ λαμβάνεται υπόψη η ηλεκτρική αγωγιμότητα των τοιχωμάτων του αγωγού. Η μέθοδος Arnoldi παρέχει τις κυρίαρχες ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα του προβλήματος. Προκειμένου να ευνοηθεί η παράλληλη υλοποίηση της αριθμητικής λύσης σε υψηλούς αριθμούς Hartmann, Ha, εφαρμόζεται domain decomposition ως προς την οριζόντια κατεύθυνση της διατομής του αγωγού. Καθώς ο Ha αυξάνεται ανακύπτει πραγματική ιδιοτιμή ως η κυρίαρχη ασταθής ιδιομορφή, υποδηλώνοντας την εμφάνιση θερμικής συναγωγής, της οποίας η κυρίαρχη συνιστώσα της στροβιλότητας στον πυρήνα του στρώματος είναι ευθυγραμμισμένη με την κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου. Το μήκος κύματός της κυρίαρχης ιδιομορφής είναι, ως προς τη διαμήκη κατεύθυνση του στρώματος, περίπου διπλάσιο του ύψους της και μειώνεται καθώς η ένταση του μαγνητικού πεδίου αυξάνεται. Η κρίσιμη τιμή του αριθμού Grashof, Gr ελήφθη για υψηλές τιμές Ha και περιγράφεται από συσχέτιση της μορφής Gr~Ha2 εκφράζοντας το ισοζύγιο μεταξύ ανωστικών και δυνάμεων Lorentz. Για καλώς ηλεκτρικά αγώγιμα πλευρικά τοιχώματα, η φύση της προκύπτουσας ροής καθορίζεται από τη συνδυασμένη αγωγιμότητα των τοιχωμάτων και στοιβάδων Hartmann, cH+Ha-1. Όταν λαμβάνονται υπόψη τοιχώματα Hartmann με ασθενή ηλεκτρική αγωγιμότητα, cH <<1, η κρίσιμη ιδιολύση χαρακτηρίζεται από καλώς σχηματιζόμενες στοιβάδες Hartmann και πλευρικές. Οι πλευρικές στοιβάδες χαρακτηρίζονται από γρήγορη κίνηση ρευστού στην κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου ως απόρροια ηλεκτρομαγνητικής άντλησης στη εγγύς περιοχή των τοιχωμάτων Hartmann. Αυξάνοντας την ηλεκτρική αγωγιμότητα των προαναφερθέντων τοιχωμάτων παρατηρήθηκε η καθυστέρηση εμφάνισης θερμικής συναγωγής, ενώ συνεχίζει να ισχύει η παραπάνω συσχέτιση Gr~Ha2 κατά τις κρίσιμες συνθήκες. Επιπρόσθετα, για αμφότερες τις περιπτώσεις ηλεκτρικά αγώγιμων και σχεδόν μονωμένων τοιχωμάτων Hartmann καθώς και για όλο το εύρος τιμών των αριθμών Ha που εξετάστηκε, δεν παρατηρήθηκε τάση ανάπτυξης καλώς σχηματιζόμενης οιονεί διδιάστατης δομής ένεκα της κίνησης συναγωγής στον πυρήνα της ροής. Επιχειρείται σύνδεση ανάμεσα στα παραπάνω αριθμητικά ευρήματα και προγενέστερες πειραματικές μελέτες που υποδεικνύουν την εμφάνιση στάσιμων κυμάτων τα οποία ακολουθούνται από οδεύοντα κύματα καθώς ο αριθμός Gr υπερβαίνει την κρίσιμη τιμή του. Ασυμπτωτική ανάλυση της κυρίαρχης ιδιομορφής κοντά στην κρίσιμη περιοχή επιβεβαιώνει τα παραπάνω αριθμητικά ευρήματα ενώ αναδεικνύει την εμφάνιση έντονης ανωστικής κίνησης τάξης Ο(Ha) με την αύξηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου. Η κίνηση αυτή αναμένεται να παίξει σημαντικό ρόλο στην εμφάνιση δευτερογενών ασταθειών υδροδυναμικού χαρακτήρα. Προκειμένου να ταυτοποιηθεί η φύση της προκύπτουσας χρονομεταβαλλόμενης αστάθειας κατά τη διάρκεια των πειραμάτων που διεξήχθησαν από τους Burr & Muller (2002) εξετάστηκε η τριδιάστατη ευστάθεια διδιάστατης στροβιλώδους ροής στρώματος υγρού μετάλλου σε κοιλότητα τετραγωνικής διατομής. Οι δίνες παράγονται ως αποτέλεσμα ελεύθερης συναγωγής και εσωτερικής θέρμανσης σε κοιλότητα παρουσία μαγνητικού πεδίου. Χρησιμοποιούνται εξισώσεις χαμηλής τιμής μαγνητικού αριθμού Reynolds για την βασική ροή και τη μορφοποίηση του προβλήματος ευστάθειας. Χρησιμοποιούνται πεπερασμένα στοιχεία για τη διακριτοποίηση του προβλήματος. Αποδοτικός υπολογισμός των κυρίαρχων ιδιοτιμών παρέχεται μέσω της μεθόδου Arnoldi, ενώ τα διαγράμματα ουδέτερης ευστάθειας κατασκευάζονται με χρήση τεχνικών παραμετρικής συνέχειας. Ο αριθμός των δινών που χαρακτηρίζουν τη βασική ροή μεταπίπτει από μία σε δύο, μόλις η εσωτερική πηγή θερμότητας υπερβεί μία κρίσιμη τιμή. Ο κυρίαρχος μηχανισμός αστάθειας αντιστοιχεί σε αστάθεια Goertler στην περίπτωση μοναδικής δίνης και η ελλειπτική αστάθεια χαρακτηρίζει ζεύγος δινών. Στην ελλειπτική αστάθεια, η αξονική στροβιλότητα είναι συμμετρική και χαρακτηρίζεται από δομές δύο λοβών ευθυγραμμισμένων με μία από τις δύο κύριες κατευθύνσεις παραμόρφωσης και η κυρίαρχη ιδιομορφή προσλαμβάνει τη μορφή οδεύοντος κύματος. Το μαγνητικό πεδίο αντιτίθεται στην ανωστική κίνηση, μεταβάλλει την κατεύθυνση της μέγιστης παραμόρφωσης με έμφαση σε ιξώδη στρώματα πλησίον των τοιχωμάτων εν αντιθέσει με το ζεύγος δινών στον πυρήνα και οδηγεί σε μικρότερες συχνότητες κατά τις κρίσιμες συνθήκες. Η παραπάνω διαμόρφωση ροής εκτιμάται ότι παίζει καθοριστικό ρόλο στην εμφάνιση οδευόντων κυμάτων στα πειράματα των Burr & Muller (2002) με μικρή αύξηση του αριθμού Gr πέραν της κρίσιμης τιμής. Εν τέλει, για να καταστεί δυνατή η ενδελεχής περιγραφή της μη γραμμικής εξέλιξης των ασταθών ιδιομορφών στην περιοχή της χρονομεταβαλλόμενης συναγωγής εφαρμόστηκε μη γραμμική ανάλυση ευστάθειας στη μορφή της ροής που μελετήθηκε από τους Burr & Muller (2002), εφαρμόζοντας τη μεθοδολογία πεπερασμένων στοιχείων στη διατομή του αγωγού σε συνδυασμό με τη φασματική προσέγγιση για την αξονική κατεύθυνση της ροής. Η τελευταία καθορίζεται από την διαμόρφωση που προκύπτει μετά την αρχική θερμική αστάθεια. Υιοθετήθηκε semiimplicit αριθμητικό σχήμα χρονικής ολοκλήρωσης, οι μη γραμμικοί όροι συναγωγής προσεγγίζονται ρητώς με χρήση της μεθόδου Adams-Bashforth δεύτερης τάξης και οι γραμμικοί όροι προσεγγίζονται αρρήτως χρησιμοποιώντας μέθοδο Crank-Nicolson δεύτερης τάξης έτσι ώστε η απόζευξη διαφορετικών φασματικών (spectral) modes να είναι δυνατή ενώ ευνοείται ο παράλληλος χειρισμός της διαδικασίας επίλυσης. Στόχος αυτής της μελέτης είναι η διερεύνηση της εμφάνισης κορεσμού στην πρωτογενή θερμική αστάθεια, η αναγνώριση του είδους της διακλάδωσης που την προκαλεί καθώς και η επίδραση στην μεταφορά θερμότητας δια μέσου του στρώματος υγρού μετάλλου.