Skyrmions, topology and geometry

Abstract

The topic of the thesis is the study of the Skyrme model in various contexts:from general relativity to nuclear and condensed matter physics. Since themodel is not integrable but topological due to the existence of a Bogomol'nyienergy bound, its study has been based on topological and geometricaltechniques. In addition, numerical methods have been employed, as well. Inchapters 1 and 2, we review the mathematical motivation and techniques forstudying the Skyrme model. Chapter 3 applies independent rescalings to theSkyrme model and the approximate skyrmions are constructed based onDerrick's theorem. In chapter 4, the Skyrme model is coupled to gravity andwormhole solutions are obtained as a result. In particular, we show that allspherically symmetric Morris-Thorne wormholesexhibit an instability related to the Ellis wormhole, in spite of the fact that theydo carry a topological charge. Chapter 5 presents a lattice version of theSkyrme model based on its Bogomol'nyi-type energy bound. That way, weobtain the lattice skyrmion solutions and examine their spectral stability.

Το θέμα της διατριβής είναι η μελέτη του μοντέλου του Skyrme σε διάφοραπλαίσια: από τη γενική θεωρία της σχετικότητας ως την πυρηνική φυσική καιφυσική συμπυκνωμένης ύλης. Δεδομένου ότι το μοντέλο δεν είναιολοκληρώσιμο αλλά τοπολογικό, λόγω της ύπαρξης του ενεργειακούφράγματος Bogomol'nyi, η μελέτη του έχει βασιστεί σε τοπολογικές καιγεωμετρικές τεχνικές. Επιπλέον, αριθμητικές μέθοδοι έχουν χρησιμοποιηθεί.Στα κεφάλαια 1 και 2, παρατίθονται τα μαθηματικά κίνητρα και οι τεχνικές γιατη μελέτη του μοντέλου του Skyrme. Στο κεφάλαιο 3, εφαρμόζονταιανεξάρτητοι μετασχηματισμοί κλίμακας στο μοντέλο του Skyrme και ταπροσεγγιστικά σκαρμιόνια κατασκευάζονται με βάση το θεώρημα του Derrick.Στο κεφάλαιο 4, το μοντέλο του Skyrme είναι συζευγμένο με βαρύτητα καιλύσεις που περιγράφουν σκουληκότρυπες λαμβάνονται ως αποτέλεσμα.Ειδικότερα, οι σφαιρικά συμμετρικές Morris-Thorne σκουληκότρυπεςπαρουσιάζουν μια αστάθεια η οποία σχετίζεται με την Ellis σκουληκότρυπα,παρά το γεγονός ότι φέρουν τοπολογικό φορτίο. Στο κεφάλαιο 5 παρουσιάζεταιμια διακριτή έκδοση του μοντέλου Skyrme βασιζόμενη στο ενεργειακό φράγματύπου Bogomol'nyi. Με αυτόν τον τρόπο προκύπτουν οι διακριτέςσκαρμιονικές λύσεις και εξετάζεται η φασματική τους ευστάθεια.