Hyperbolic SPDEs-analytical and numerical study using Wiener chaos approach

Abstract

In the first part of this dissertation we propose a constructive approach for generalized weighted Wiener Chaos solutions of linear hyperbolic SPDEs driven by a cylindrical Brownian Motion. Explicit conditions for the existence, uniqueness and regularity of generalized (Wiener Chaos) solutions are established in Sobolev spaces. An equivalence relation between the Wiener Chaos solution and the traditional one is established. In the second part we propose a novel numerical scheme based on the Wiener Chaos expansion for solving hyperbolic stochastic PDEs. Through the Wiener Chaos expansion the stochastic PDE is reduced to an infinite hierarchy of deterministic PDEs which is then truncated to a finite system of PDEs, that can be addressed by standard techniques. A priori and a posteriori convergence results for the method are provided. The proposed method is applied to solve the stochastic forward rate Heath-Jarrow-Morton model with the Musiela parametrization and the results are compared to those derived by the Monte Carlo method. The main advantage of the proposed scheme is that it is significantly faster than the Monte Carlo (MC) simulation method, for the same order of accuracy. It also provides a convenient way to compute not only the solution but also the statistical moments of the solution numerically.

Στο πρώτο μέρος της διατριβής κατασκευάζουμε λύσεις μίας ευρείας οικογένειας υπερβολικών στοχαστικών μερικών διαφορικών εξισώσεων έσω της μεθόδου του αναπτύγματος σε Wiener Chaos. Οι λύσεις αυτές ανήκουν στην κατηγορία των μεταβολικών λύσεων και κατασκευάζονται σαν ανάπτυγμα σε σειρά Fourier με συντελεστές που υπολογίζονται λύνοντας ένα απειροδιάστατο σύστημα ντετερμινιστικών διαφορικών εξισώσεων, γνωστό και ως διαδότη. Αποδεικνύεται ότι η λύση της αρχικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης συνδέεται με την λύση του ντετερμινιστικού συστήματος με μία σχέση ισοδυναμίας, σε κατάλληλα επιλεγμένους χώρους Wiener με βάρος. Η σύνδεση αυτή μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τις κατάλληλες αρχικές συνθήκες που μας εξασφαλίζουν την ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων απείρως διαφορίσιμων κατά Malliavin καθώς και λύσεων σε χώρους Hida-Kondratiev. Στο δεύτερο μέρος, προτείνουμε ένα νέο αριθμητικό σύστημα με βάση το ανάπτυγμα σε Wiener Chaos για την επίλυση υπερβολικών στοχαστικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos παράγεται ο διαδότης σαν ένα απειροδιάστατο σύστημα ντετερμινιστικών μερικών διαφορικών εξισώσεων, το οποίο στη συνέχεια περικόπτεται με σκοπό να καταλήξουμε εν τέλει σε ένα πεπερασμένης διάστασης ντετερμινιστικό σύστημα, που μπορεί να αντιμετωπιστεί με συνήθεις τεχνικές. Εν συνεχεία, παρέχονται a priori και a posteriori αποτελέσματα σχετικά με τη σύγκλισή της μεθόδου. Η προτεινόμενη μέθοδος εφαρμόζεται για την επίλυση του υποδείγματος των Heath-Jarrow-Morton για τα επιτόκια υπό την παραμετροποίηση κατά Musiela και τα αποτελέσματα συγκρίνονται με αυτά που παράγονται με τη μέθοδο Monte Carlo. Το κύριο πλεονέκτη,α του προτεινόμενου αριθμητικού σχήματος είναι ότι είναι σημαντικά ταχύτερο από την μέθοδο Monte Carlo (MC), για το ίδιο επίπεδο ακριβείας. Τέλος, μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos μπορούν άμεσα να υπολογιστούν αριθμητικά και άλλες στατιστικές ποσότητες, όπως οι ροπές της λύσης.