Αναλυτική επίλυση προβλημάτων σκέδασης από αντικείμενα με κωνική γεωμετρία

Abstract

The aim of the present thesis was to determine electromagnetic and acoustic fields in conical domains via analytical methods. The first problem which we examined was the scattering of electromagnetic waves by a perfectly conducting circular cone. We proved the equivalence of the method of vector wave functions with the method of scalar potentials and we corrected some errors in the literature concerning the formulas for the electric dyadic Green’s function. The second task which we undertook was the determination of the electrostatic field of a point charge in the presence of a dielectric cone of circular cross section. In order to find the eigenexpansion of the electrostatic potential we used the two-interval Sturm-Liouville theory and compared it with the classical Mellin transform method, pointing out the disadvantages of the latter. Furthermore, we calculated the eigenexpansion of the potential numerically and we removed analytically a numerical instability which appeared in it. Finally, we studied the scattering of acoustic waves by a penetrable conical surface which separates fluids of different acoustical properties. With the help of the two-interval Sturm-Liouville theory we managed to reduce the problem to an infinite-dimensional system of linear differential equations and we approximated it by truncation. The truncated system was studied with the help of the Frobenius method. In addition, we derived analytically the exact eigenexpansion of the acoustic field in the case of the isorefractive cone, and we presented numerical results based on it.

Αντικείμενο της διατριβής υπήρξε ο αναλυτικός προσδιορισμός ηλεκτρομαγνητικών και ακουστικών πεδίων σε χωρία κωνικής γεωμετρίας. Το πρώτο πρόβλημα που εξετάσαμε ήταν η σκέδαση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων από τέλεια αγώγιμο κυκλικό κώνο, όπου αποδείξαμε την ισοδυναμία της μεθόδου των διανυσματικών κυματοσυναρτήσεων με τη μέθοδο των βαθμωτών δυναμικών και διορθώσαμε κάποια σφάλματα προηγούμενων ερευνητών στους τύπους της ηλεκτρικής δυαδικής συνάρτησης Green. Το δεύτερο πρόβλημα με το οποίο ασχοληθήκαμε ήταν η εύρεση του ηλεκτροστατικού πεδίου σημειακού φορτίου παρουσία διηλεκτρικού κώνου κυκλικής διατομής. Για τον προσδιορισμό του ιδιοαναπτύγματος του ηλεκτροστατικού δυναμικού χρησιμοποιήσαμε τη μέθοδο Sturm-Liouville δύο διαστημάτων και τη συγκρίναμε με την κλασσική μέθοδο του μετασχηματισμού Mellin, δείχνοντας τα μειονεκτήματα της δεύτερης. Επίσης υλοποιήσαμε αριθμητικά το ιδιοανάπτυγμα του δυναμικού και αντιμετωπίσαμε αναλυτικά μία αριθμητική αστάθειά του. Τέλος, ασχοληθήκαμε με τη σκέδαση ακουστικών κυμάτων από διαπερατή κωνική επιφάνεια που χωρίζει ρευστά διαφορετικών ακουστικών ιδιοτήτων. Με τη βοήθεια της θεωρίας Sturm-Liouville δύο διαστημάτων αναγάγαμε το πρόβλημα σε ένα απειροδιάστατο γραμμικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων και το προσεγγίσαμε με το αντίστοιχο αποκομμένο σύστημα. Το τελευταίο μελετήθηκε με τη βοήθεια της μεθόδου Frobenius. Επιπλέον, βρήκαμε αναλυτικά το ακριβές ιδιοανάπτυγμα του ακουστικού πεδίου στην περίπτωση του ισοδιαθλαστικού κώνου και το υλοποιήσαμε αριθμητικά.