Τοπολογική ταξινόμηση δυναμικών συστημάτων

Abstract

The topological classification and study of vector fields is the main theme of this thesis. Chapter 1 contains the definitions and the results on the classification problem on 1 and 2-dimensional manifolds. In Chapter 2, Knot Theory is employed to clarify the topological structure of strange attractors present in 3-d vector fields. In Chapter 3 a procedure is developed which allow (when it can be applied) the global classification of vector fields on R⁴. This procedure is then applied to a number of vector fields of R² and R³. In the final Chapter 4 we study the global structure of a vector field of R³ invariant under the D₂ group. We present its (partial) bifurcation diagram, the dependence of it’s strange attractors on the symmetry and prove the existence of Shilnikov orbits. We conclude with its behavior at infinity.

Η τοπολογική ταξινόμηση και μελέτη διανυσμάτων πεδίων αποτελεί το αντικείμενο της διατριβής αυτής. Στο πρώτο κεφάλαιο δίνονται οι βασικοί ορισμοί και τα αποτελέσματα ολικής τοπολογικής ταξινόμησης σε μονοδιάστατες και 2-διάστατες πολλαπλότητες. Στο δεύτερο κεφάλαιο εργαλεία της Θεωρίας Κόμβων χρησιμοποιούνται για να διαφωτίσουν την τοπολογία των παράξενων ελκυστών που εμφανίζονται σε διανυσματικά πεδία του R³. Στο τρίτο κεφάλαιο αναπτύσσεται μια μέθοδος που επιτρέπει την ολική ταξινόμηση πεδίων του R⁴. Στο ίδιο κεφάλαιο η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται σε συστήματα του R² και του R³. Στο τέταρτο, και τελευταίο κεφάλαιο, μελετάται η ολική ποιοτική συμπεριφορά ενός πεδίου του R³ αμετάβλητου από την ομάδα D₂. Παρουσιάζεται το διάγραμμα διακλάδωσής τους, η εξάρτηση των ελκυστών από τη συμμετρία και η συμπεριφορά του στο άπειρο.