Το πρόβλημα αρχικών τιμών στο ημιάπειρο πλέγμα toda με μη φραγμένες αρχικές συνθήκες

Abstract

The semi-infinite Toda lattice is the system of differential equations an(t)= an(t),bn+1(t)-bn(t), bn(t)=2(an²(t)-an²-1(t), n=1 ,2,……, t>0. The solution of this system is a pair of real sequences an(t),bn(t), which satisfy the conditions an(0),bn(0), where an(0)>0 and bn are given sequences of real numbers. In this PhD we find a class of unbounded sequences an and bn such that the system has a unique solution. We give a new method of find that the finite Toda lattice has a unique solution. The connection of the Toda lattice with the KdV equation is also discussed. Finally is given a class of initial conditions where can be solved exactly the Toda lattice and applications to the inverse spectral problem.

Το πρόβλημα αρχικών τιμών (Π.Α.Τ.) του ημιάπειρου πλέγματος Toda είναι η εύρεση πραγματικών ακολουθιών an(t),bn(t) με an(t) > 0 που επαληθεύουν το σύστημα των μη γραμμικών εξισώσεων an(t)= an(t),bn+1(t)-bn(t), bn(t)=2(an²(t)-an²-1(t) και ικανοποιούν τις γνωστές αρχικές συνθήκες an(0),bn(0). Σκοπός της διατριβής αυτής είναι η εύρεση μιας κλάσεως μη φραγμένων ακολουθιών an(0),bn(0) για τις οποίες το ημιάπειρα Π.Α.Τ. Toda έχει μία και μοναδική λύση … Επειδή η μετάβαση στο άπειρο γίνεται αφού πρώτα επιλυθεί το Π.Α.Τ. για το πεπερασμένο, παρουσιάζεται μια νέα απόδειξη της ύπαρξης και της μοναδικότητας του Π.Α.Τ. του πλέγματος Toda για το πεπερασμένο. Επιπλέον δίνεται η σύνδεση του πλέγματος Toda με την … εξίσωση. Τέλος, δίνεται μια κλάση αρχικών συνθηκών, όπου το πλέγμα Toda επιλύεται ακριβώς και παραδείγματα στα οποία χρησιμοποιούνται αυτές οι ακριβείς λύσεις για να λυθούν αντίστροφα φασματικά προβλήματα.