Μη γραμμική δυναμική απόκριση και σχεδιασμός δικτύων καλωδίων

Abstract

The research presented in this dissertation aims at investigating the response of cable nets subjected to dynamic loads, focusing on the dynamic phenomena that characterise nonlinear structures. Firstly a simple cable net is studied, consisting of two crossing cables and the equation of motion is derived, proved to be similar to the one of the Duffing oscillator. The analytical solutions of this oscillator, found in the literature, are adopted for the simple cable net. The occurrence of fundamental and secondary resonances, such as superharmonic and subharmonic resonances, is verified for this system. With this investigation, an important first step towards understanding the dynamic response of cable nets is achieved. Proceeding to multi-degree-of-freedom (MDOF) systems, a saddle-form cable net with circular plan view is assumed. The first symmetric and antisymmetric vibration modes and the corresponding natural frequencies are calculated. A non-dimensional parameter λ2 is introduced for cable nets in this study, which depends on the mechanical and geometrical characteristics of the cables and determines the sequence of their vibration modes. Semi-empirical formulae are also proposed to estimate the frequencies of the first vibration modes of the system, with satisfactory accuracy compared to modal analysis results. The concept of an equivalent SDOF system for estimating the dynamic response of a MDOF system is then explored. The transformation of the characteristics from the large system to the smaller one is obtained by similarity relations. Response diagrams are plotted for both SDOF and MDOF systems, based on the analytical solutions and conducting time-history analyses, respectively, showing a good agreement. The main advantage of this method is that using the analytical solutions for the SDOF model, it is possible to define with small error and minimum computational time the loading amplitude and frequency for which nonlinear phenomena develop for the large system. Next, the influence of the spatial load distribution on the response of a cable net subjected to harmonic loads is investigated, considering uniform or antisymmetric distribution. The frequency of the external excitation is appropriately chosen aiming at resonances. Nonlinear dynamic phenomena are also verified for MDOF systems. In order to analyse the behaviour of such structures to actual dynamic loads such as wind actions, the wind pressure distribution on this kind of surfaces is defined based on the recommendations of Eurocode 1. A measured wind record and an artificial one are considered and nonlinear time-history analyses are performed to detect nonlinear resonant phenomena for the wind action, as well. Fundamental and superharmonic resonances are observed, although the frequencies of the wind are much smaller than the eigenfrequencies of the system. These resonances lead to large differences between static and dynamic responses for all cable nets assumed, while, as the parameter λ2 increases, the oscillation amplitude becomes smaller. The quasi-static methods cannot predict these nonlinear dynamic phenomena and thus they cannot be considered as accurate for the analysis and design of such structures.

Αντικείμενο της παρούσας διατριβής είναι η διερεύνηση της απόκρισης δικτύων καλωδίων υπό δυναμικά φορτία, εστιάζοντας την προσοχή στα δυναμικά φαινόμενα που χαρακτηρίζουν τα μη γραμμικά συστήματα. Αρχικώς μορφώνεται η εξίσωση κίνησης ενός απλού δικτύου καλωδίων που αποτελείται από δύο καθέτως διασταυρούμενα καλώδια, η οποία έχει τη μορφή της εξίσωσης του ταλαντωτή Duffing με αναλυτικές λύσεις που δίνονται στη διεθνή βιβλιογραφία. Εφαρμόζοντας τις λύσεις αυτές στο συγκεκριμένο σύστημα, επιβεβαιώνονται κύριοι και δευτερεύοντες συντονισμοί, όπως είναι ο υπεραρμονικός και ο υποαρμονικός συντονισμός. Με τη διερεύνηση του απλού δικτύου, επιτυγχάνεται ένα πολύ σημαντικό βήμα προς την κατανόηση των δυναμικών φαινομένων που διέπουν τη μη γραμμική συμπεριφορά των δικτύων καλωδίων. Στη συνέχεια, θεωρείται ένα πολυβάθμιο δίκτυο καλωδίων σχήματος υπερβολικού παραβολοειδούς με κυκλική κάτοψη. Υπολογίζονται οι πρώτες συμμετρικές και αντισυμμετρικές ιδιομορφές με τις αντίστοιχες ιδιοσυχνότητες. Προτείνεται μία αδιαστατοποιημένη παράμετρος λ2 για τα δίκτυα καλωδίων, η οποία εξαρτάται από τα γεωμετρικά και μηχανικά χαρακτηριστικά των καλωδίων και καθορίζει τη σειρά εμφάνισης των ιδιομορφών. Βάσει των αποτελεσμάτων των παραμετρικών αναλύσεων προτείνονται ημι-εμπειρικές σχέσεις για τον υπολογισμό των πρώτων ιδιοσυχνοτήτων του συστήματος, ενώ η σύγκριση αυτών με αποτελέσματα ιδιομορφικών αναλύσεων είναι πολύ ικανοποιητική. Η δυναμική απόκριση ενός πολυβάθμιου συστήματος δικτύου καλωδίων προσεγγίζεται αρχικώς χρησιμοποιώντας ένα ισοδύναμο μονοβάθμιο σύστημα. Η μετατροπή των γεωμετρικών και μηχανικών χαρακτηριστικών από το ένα σύστημα στο άλλο βασίζεται σε κατάλληλες σχέσεις μετασχηματισμού. Η σύγκριση των διαγραμμάτων απόκρισης των δύο συστημάτων οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η μέθοδος αυτή μπορεί να δώσει μία ικανοποιητική εκτίμηση της συμπεριφοράς του πολυβάθμιου συστήματος, με κυριότερο πλεονέκτημα ότι χρησιμοποιώντας αναλυτικές λύσεις για το ισοδύναμο μονοβάθμιο σύστημα προσδιορίζεται το μέγεθος και η συχνότητα του φορτίου που μπορεί να προκαλέσει μη γραμμικά φαινόμενα για το πολυβάθμιο σύστημα, με μικρό σφάλμα και σε ελάχιστο υπολογιστικό χρόνο. Γίνεται επίσης μία διερεύνηση της επιρροής της χωρικής κατανομής ενός αρμονικού φορτίου στην απόκριση των δικτύων καλωδίων, θεωρώντας ομοιόμορφη ή αντισυμμετρική κατανομή. Η συχνότητα του φορτίου επιλέγεται κατάλληλα ώστε να προκαλούνται συντονισμοί. Επιβεβαιώνονται μη γραμμικά δυναμικά φαινόμενα και στα πολυβάθμια συστήματα. Τέλος, προκειμένου να μελετηθεί η συμπεριφορά τέτοιων κατασκευών υπό πραγματικά δυναμικά φορτία όπως ο άνεμος, προσδιορίζεται η κατανομή των ανεμοπιέσεων σε τέτοιου είδους επιφάνειες, βασιζόμενη στις συστάσεις του Ευρωκώδικα 1, και πραγματοποιούνται μη γραμμικές δυναμικές αναλύσεις χρησιμοποιώντας μία πραγματική καταγραφή καθώς και μία τεχνητή χρονοϊστορία ανέμου. Παρατηρούνται υπεραρμονικοί και θεμελιώδεις συντονισμοί, παρά το γεγονός ότι οι συχνότητες του ανέμου είναι πολύ μικρότερες από τις ιδιοσυχνότητες του συστήματος. Οι συντονισμοί αυτοί οδηγούν σε μεγάλες διαφορές μεταξύ στατικών και δυναμικών αναλύσεων, ενώ, καθώς αυξάνεται η τιμή της παραμέτρου λ2, μειώνεται το πλάτος της ταλάντωσης. Οι στατικές μέθοδοι που λαμβάνουν μόνον έμμεσα υπόψη τα δυναμικά φαινόμενα, δεν θεωρούνται ακριβείς για την ανάλυση και διαστασιολόγηση τέτοιων κατασκευών.