Συμβολή στη θεωρία σχεδιασμών, κωδίκων και κρυπτογραφίας

Abstract

In the first part of this dissertation, three constructions of orthogonal arrays are presented. The first construction is for two level orthogonal arrays and makes use of linear systems. The other two stands on the idea of extending non-isomorphic orthogonal arrays. Also, an efficient way of distinguishing the non-isomorphic orthogonal arrays was developed with the use of the hamming distance and the max-int algorithm. The non isomorphic orthogonal arrays with parameters OA(24,q,2,t) for q=3, ,7, OA(n,q,2,t) for n=28,32,36 and q=3, ,6, OA(n,q,2,t) for n=40,44 and q=3,4,5, OA(18,q,3,t) for q=3, ,7 were found. In the second part linear codes with great minimum distance (and mostly the maximum) are constructed from Hadamard matrices on GF(2), from skew type Hadamard matrices on GF(p), where p is prime, and from orthogonal arrays. In the third part an encryption scheme that uses symmetric key was developed with the use of orthogonal arrays as key. The strength of the method is explored and finally the scheme is strengthen by the use of the Kronecker product. Also a conference key distribution system with the use of difference families was developed. The system in the form of protocol was enhanced with RSA and exponential functions in order to be safer and hash functions were used for identification purposes.

Στο πρώτο μέρος της διατριβής αυτής, παρουσιάζονται τρεις μέθοδοι κατασκευής ορθογωνίων σχηματισμών. Η πρώτη μέθοδος επικεντρώνεται στους ορθογώνιους σχηματισμούς 2 επιπέδων και χρησιμοποιεί γραμμικά συστήματα. Οι υπόλοιπες δύο στηρίζονται στην ιδέα της επέκτασης των μη ισόμορφων ορθογώνιων σχηματισμών. Επιπλέον αναπτύχθηκε ένας αποτελεσματικός τρόπος εύρεσης των μη ισόμορφων ορθογώνιων σχηματισμών με την χρήση της απόστασης κατά Hamming και τον αλγόριθμο του μέγιστου ακέραιου. Με τον τρόπο αυτό βρέθηκαν οι μη ισόμορφοι ορθογώνιοι σχηματισμοί με παραμέτρους OA(24,q,2,t) για q=3, ,7, OA(n,q,2,t) για n=28,32,36 και q=3, ,6, OA(n,q,2,t) για n=40,44 και q=3,4,5, ΟΑ(18,q,3,t) για q=3, ,7. Στο δεύτερο μέρος κατασκευάζονται γραμμικοί κώδικες από πίνακες Hadamard στο GF(2), από αντισυμμετρικού τύπου πίνακες Hadamard στο GF(p) οπού p πρώτος αριθμός και από ορθογώνιους σχηματισμούς. Σε κάθε περίπτωση γίνεται μελέτη της μέγιστης ελάχιστης απόστασης που συνήθως έχει την μέγιστη δυνατή τιμή. Στο τρίτο μέρος αναπτύχθηκε ένα συμμετρικό κρυπτοσύστημα που χρησιμοποιεί ορθογώνιους σχηματισμούς για κλειδί. Αποδεικνύεται η ασφάλεια του κάτω από διάφορες επιθέσεις και τέλος με την χρήση του γινομένου Kronecker ισχυροποιείται περισσότερο. Επίσης μελετήθηκε ένα σύστημα διανομής κλειδιού συνεδρίου που χρησιμοποιεί τις οικογένειες διαφορών. Έγινε μελέτη της πολυπλοκότητας στην μετάδοση μηνυμάτων και εμπλουτίστηκε με τον αλγόριθμο RSA και εκθετικές παραστάσεις για ενίσχυση της ασφάλειας και με μονόδρομες (hash) συναρτήσεις για την ταυτοποίηση.