Αριθμητικός υπολογισμός και θεωρητική μελέτη περιοδικών τροχιών σε συντονισμούς σε δυναμικά συστήματα

Abstract

In this work we study periodic orbits and their stability in resonance domains in dynamical systems. We study the behaviour of perturbed two-degree of freedom Hamiltonian systems, of the form H = H0 + εΗ1 in resonance domains. We evaluate the average value of the perturbing function Η1 along the periodic orbits of the resonant tori of the unperturbed part and study its relation to the continuation of periodic orbits for ε ≠ 0 and to their stability, as well as to the width of the resonance zone. We apply these results to a system that consists of a harmonic and unharmonic oscillator with weak cubic coupling. We study both analytically and numerically the appearance of Poincaré - Birkhoff and test the estimation on the width of the resonance zone that is evaluated theoretically. We also study the birth of twin Poincaré - Birkhoff chains in the domains where the rotation number possesses an extremum. Finally we generalize this study to three-degree of freedom systems and apply the results to the system consisting of one harmonic and two unharmonic oscillators with weak cubic coupling. The second part is dedicated to the general three-body problem. We evaluate families of periodic orbits in the planar hierarchical problem where two bodies are very close to each other, while the third body moves in relatively large distance. We study two complete families of periodic orbits of this problem. We calculate three families of periodic orbits of the planetary problem, in which two bodies with small masses move on planetary orbits around a central body with considerably larger mass, and study the creation of instabilities in the resonance domains.

Αντικείμενο της παρούσας εργασίας είναι η μελέτη περιοδικών τροχιών και ευστάθειας στις περιοχές συντονισμών σε δυναμικά συστήματα. Στο πρώτο κεφάλαιο μελετούμε τη συμπεριφορά διαταραγμένων Χαμιλτονιανών συστημάτων δύο βαθμών ελευθερίας της μορφής Η = H0 + εΗ1 στην περιοχή συντονισμών. Υπολογίζουμε τη μέση τιμή της διαταρακτικής συνάρτησης Η1 πάνω στις περιοδικές τροχιές των συντονισμένων τόρων του αδιατάρακτου μέρους και μελετούμε τη σύνδεσή της με τη συνέχιση των περιοδικών τροχιών για ε ≠ 0 και την ευστάθειά τους, καθώς και με το εύρος της ζώνης συντονισμού. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται εφαρμογή στο σύστημα ενός αρμονικού και ενός αναρμονικού ταλαντωτή με ασθενή κυβική σύζευξη. Μελετούμε θεωρητικά και αριθμητικά την εμφάνιση περιοδικών τροχιών Poincaré - Birkhoff και ελέγχουμε την εκτίμηση για το εύρος των ζωνών συντονισμού που υπολογίστηκε στο πρώτο κεφάλαιο. Μελετούμε επίσης τη γέννηση διπλών αλυσίδων Poincaré - Birkhoff στις περιοχές όπου ο αριθμός περιστροφής παρουσιάζει ακρότατο. Τέλος, στο τρίτο κεφάλαιο γενικεύουμε τη μελέτη για συστήματα τριών βαθμών ελευθερίας και κάνουμε εφαρμογή στο σύστημα ενός αρμονικού και δύο αναρμονικών ταλαντωτών με ασθενή κυβική σύζευξη. Το δεύτερο τμήμα της διατριβής είναι αφιερωμένο στο γενικό πρόβλημα των τριών σωμάτων. Στο τέταρτο κεφάλαιο υπολογίζουμε οικογένειες περιοδικών τροχιών και ευστάθεια στο επίπεδο ιεραρχικό πρόβλημα. Στο πρόβλημα αυτό τα δύο σώματα βρίσκονται πολύ κοντά το ένα στο άλλο, ενώ το τρίτο σώμα κινείται σε σχετικά μεγάλη απόσταση. Μελετάμε δύο πλήρεις οικογένειες περιοδικών τροχιών αυτού του προβλήματος. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο υπολογίζουμε τρεις οικογένειες περιοδικών τροχιών του πλανητικού προβλήματος, όπου δύο σώματα με μικρές μάζες κινούνται σε πλανητικές τροχιές γύρω από ένα κεντρικό σώμα με σημαντικά μεγαλύτερη μάζα, και μελετάμε τη δημιουργία αστάθειας στις περιοχές συντονισμών.