Διωνυμικές ισοδυναμίες, κυκλοτομία και διαμερίσεις

Abstract

In the present thesis the problem of solution of the general binomial congruence is the main topic of discourse. Specifically, the following are attained for the congruence xn=a(mod m):1. A necessary and sufficient condition for its solubility.2. Formulae for all solutions in terms of primitive roots, provided that one solution is known in advance.3. The number of its solutions.(Chapters 1-4).In particular, an explicit formula is obtained for all solutions of the binomial congruence of degree two. In this formula no use of primitive roots is made, while a priori knowledge of a specific solution is redundant. In addition, all solutions of the quadratic congruence ax2+bx+c=0(mod m) are determined, while a necessary and sufficient condition for its solubility is obtained (Chapter 5).In Chapter 6 the n-th power residues mod m, (n, m being any natural numbers), are determined by means of specific formulae. This determination is based on our results regarding the solution of binomial congruences.In Chapter 7 the structure of the (finite) Abelian group 6 of all solutions of the congruence xn=l(mod m) is exhibited. This structure is given 1) in the form of a direct product of cyclic groups, whose orders are prime powers and 2) in the form of a canonical decomposition. A necessary and sufficient condition for G to be cyclic is also obtained, while a generator of this group is determined, in case this condition is fulfilled.The complete solution of the general binomial conguence, the determination o-f n-th power residues mod m and the determination o-f the decompositions of the group of solutions of xn=l(mod m), are attained in terms of primitive roots with respect to suitable moduli. In Chapter 8 two methods for the determination of all primitive roots of 1 mod m are given, where m is of the form pn or 2pn, while p is a prime. The first method is based on the solution of congruences. The second one is, essentially, an improvement of a relevant criterion of Gauss. Certain specific results regarding primitive roots of 1 mod p, (p being a prime of particular form), along with the study of primitive roots of Fermat primes complete the Chapter.It is known that the primitive roots of 1 mod p, where p is a prime, are the solutions of the congruence Fpi-1 (x)=0(mod p), where Fp-1(x) is the cyclotomie polynomial of order p-1. The determination of the coefficients of the cyclotomie polynomial in terms of Von Sterneck numbers (Ramanujan sums) is the object of Chapter 9. Specifically, for every n an inductive formula for the determination of the coefficients of Fn(x), along with certain explicit formulae, are given, which make use of unordered and ordered partitions as well.In Chapter 9, as an additional topic, certain formulae for the determination of the number p(m) of unordered partitions of m are given. These formulae are completely analogous to the respective formulae for the coefficients of the cyclotomie polynomial.As an application of the solution of quadratic congruences, the theme of Pythagorean triads is examined in Chapter 10. Formulae determining all Pythagorean triads are given. These -formulae differ -from the known Euclidean -formulae; however they are equivalent to them. In the same Chapter the theme of lattice points on a general parabola with integer coefficients is examined. A method -for the determination of all such lattice points is given.

Στην παρούσα διατριβή εξετάζεται, κυρίως, το πρόβλημα της λύσης της γενικής διωνυμικής ισοδυναμίας. Συγκεκριμένα, για την ισοδυναμία xn=a(mod m) προσδιορίζονται τα εξής: 1. Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να έχει λύσεις. 2. Τύποι, που δίνουν όλες τις λύσεις της μέσο αρχικών ριζών, όταν είναι, εκ των προτέρων, γνωστή μία λύση. 3. Το πλήθος των λύσεών της.(Κεφάλαια 1-4). Ειδικά, για τη διωνυμική ισοδυναμία δευτέρου βαθμού παρέχεται εκπεφρασμένος τύπος όλων των λύσεών της, χωρίς χρήση αρχικών ριζών και χωρίς να προαπαιτείται να είναι γνωστή μία λύση της. Επί πλέον, επιτυγχάνεται ο προσδιορισμός όλων των λύσεων της γενικής ισοδυναμίας δευτέρου βαθμού ax2+bx+c=0(mod m) και παρέχεται αναγκαία και ικανή συνθήκη για την ύπαρξη λύσεων (Κεφάλαιο 5). Στο Κεφάλαιο 6 παρέχονται συγκεκριμένοι τύποι προσδιορισμού των υπολοίπων η-τάξεως mod m (για n,m τυχαίους φυσικούς αριθμούς), βάσει των αποτελεσμάτων μας, των αφορώντων την λύση διωνυμικών ισοδυναμιών. Στο Κεφάλαιο 7 προσδιορίζεται η δομή της (πεπερασμένης)Αβελιανής ομάδας G όλων των λύσεων της ισοδυναμίας xn=l(mod m), αφ’ ενός μεν υπό την μορφή ευθέος γινομένου κυκλικών ομάδων, με τάξεις δυνάμεις πρώτων αριθμών και, αφ’ ετέρου δε, κατά την λεγάμενη κανονική ανάλυση. Επί πλέον, παρέχεται αναγκαία και ικανή συνθήκη, για να είναι κυκλική η G, και προσδιορίζεται γεννήτορας της εν λόγω ομάδας, όταν πληρούται η συνθήκη αυτή.Η πλήρης λύση της γενικής διωνυμικής ισοδυναμίας, καθώς, επίσης, και ο προσδιορισμός των υπολοίπων η-τάξεως mod m και, ακόμη, ο προσδ ιορισμός των διασπάσεων της ομάδας λύσεων της xn=l(mod m) επιτυγχάνεται μέσω αρχικών ριζών του 1, ως προς κατάλληλα μέτρα. Στο Κεφάλαιο 8 παρέχονται δύο μέθοδοι προσδιορισμού όλων των αρχικών ριζών του 1 mod m, όπου ο m είναι της μορφής ρη ή 2ρη και ρ είναι περιττός πρώτος. Η μία μέθοδος Βασίζεται στη λύση ισοδυναμιών, ενώ η άλλη αποτελεί, κατ’ ουσίαν, βελτίωση σχετικού κριτηρίου του Gauss. Στο ίδιο Κεφάλαιο μελετώνται αρχικές ρίζες του 1 mod ρ, όπου ρ είναι, εκάστοτε, πρώτος αριθμός ειδικής μορφής. Μελετώνται, ακόμη, αρχικές ρίζες πρώτων αριθμών Fermat. Είναι γνωστό ότι οι αρχικές ρίζες του 1 mod ρ, όπου ρ περιττός πρώτος, είναι οι λύσεις της ισοδυναμίας Fp-1 ( χ )=0(mod ρ), όπου Fp-1(x) είναι το κυκλοτομικά πολυώνυμο τάξεως ρ-1. 0 προσδιορισμός των συντελεστών οποιουδήποτε κυκλοτομικου πολυωνύμου, μέσω των αριθμών Von Sterneck (αθροισμάτων Ramanujan), αποτελεί το αντικείμενο του Κεφαλαίου 9. Συγκεκριμένα, για κάθε η παρέχεται επαγωγικός τύπος προσδιορισμού των συντελεστών του Fn(x), καθώς και εκπεφρασμένοι τύποι, μέσω μη διατεταγμένων, καθώς και μέσω διατεταγμένων διαμερίσεων.Στο Κεφάλαιο 9, ως πρόσθετο θέμα, παρέχονται ορισμένοι τύποι προσδιορισμού της συνάρτησης διαμερίσεων p(m), η οποία παριστά το πλήθος των μη διατεταγμένων διαμερίσεων του m. Οι εν λόγω τύποι είναι εντελώς ανάλογοι με τους αντίστοιχους τύπους για τους συντελεστές του κυκλοτομικού πολυωνύμου.Στο Κεφάλαιο 10 μελεχάται, ως εφαρμογή των ισοδυναμιών δευτέρου βαθμού, το θέμα των Πυθαγορείων τριάδων, και παρέχονται τύποι προσδιορισμού των, διαφορετικοί από τους γνωστούς τύπους του Ευκλείδη, αλλά ισοδύναμοι με αυτούς. Επίσης, μελετάται το θέμα των συνδεσμικών σημείων γενικής παραβολής, με ακέραιους συντελεστές, και παρέχεται μέθοδος προσδιορισμού τους.