Μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς συζευγμένων μη-γραμμικών ταλαντωτών

Abstract

This PhD Thesis was done in the Physics Department of the Aristotle University of Thessaloniki. The subject of this work was the study of dynamics of two coupled nonlinear electronic circuits, the achievement of chaotic synchronization and the possible applications of this phenomenon. This thesis consists of eleven chapters, divided in three sections. In the first section, which includes the first four chapters, the theoretical analysis of nonlinear dynamics and chaos theory, along with synchronization and control phenomena are studied. In particular, in the first chapter a theoretical description of the system and especially of the dynamical system is presented. Basic concepts of nonlinear dynamics such as attractors, stability of the equilibria points, and phase portraits are referred. Methods of analyzing system’s chaotic behavior such as Lyapunov exponents, dimensions of the system, Poincare maps and power spectra are described. In the second chapter, a theoretical analysis of a nonautonomous system, which is described by a Duffing’s equation, is given. This nonlinear dynamical system is also used in the case of the linear coupling of the identical systems, which is done in chapter three. Also, in the fourth chapter, control of the chaotic behavior of the Duffing’s system via a linear coupling with an identical system, which is in periodic state, is studied. The second section includes chapters five to eight and contains the experimental results. In particular, in the fifth chapter the study and implementation of a nonlinear electronic circuit, which is described by a Duffing’s equation, is done. In the next chapter, the experimental coupling between two identical Duffing’s type circuits via a linear resistor RC is implemented and chaotic synchronization is observed. In chapter seven, the case of chaotic synchronization of two Duffing’s circuits with the inverse system approach is theoretically and experimentally studied. Chapter eight includes the results of the inverse system approach in a chaotic cryptographic scheme. The third section consists of the three last chapters and deals with the circuit which produces double scroll chaotic attractors. This circuit is studied theoretically and experimentally in chapter nine. In chapter ten, the results of the experimental coupling between two identical double scroll circuits via a linear resistor RC, is described. Finally, in last chapter, one more application of chaotic circuits is mentioned. The double scroll circuit, which is implemented, is used theoretically as a true random bit generator.

Η παρούσα διδακτορική διατριβή πραγματοποιήθηκε στο Τμήμα Φυσικής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Αντικείμενο μελέτης αποτέλεσε η σύζευξη ταυτόσημων μη - γραμμικών ηλεκτρονικών κυκλωμάτων, η επίτευξη του φαινομένου του χαοτικού συγχρονισμού και οι πιθανές εφαρμογές του. Η διατριβή αποτελείται από ένδεκα κεφάλαια χωρισμένα σε τρεις επιμέρους ενότητες. Στην πρώτη ενότητα, που περιλαμβάνει τα τέσσερα πρώτα κεφάλαια, γίνεται η ανάλυση του θεωρητικού υποβάθρου της μη - γραμμικής δυναμικής και της θεωρίας του χάους, καθώς και των φαινομένων του συγχρονισμού και του ελέγχου. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στην έννοια των συστημάτων και ειδικότερα των δυναμικών συστημάτων. Αναφέρονται βασικές έννοιες, όπως είναι οι ελκυστές, η ευστάθεια των σημείων ισορροπίας, ο χώρος των φάσεων και αναλύονται οι μέθοδοι προσδιορισμού του χάους, όπως είναι οι εκθέτες Lyapunov, οι διαστάσεις του συστήματος, η απεικόνιση Poincare και το φάσμα ισχύος. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται η θεωρητική μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς ενός μη - αυτόνομου ηλεκτρονικού κυκλώματος, που περιγράφεται από τη μη - γραμμική εξίσωση δεύτερης τάξης, την εξίσωση Duffing. Το σύστημα αυτό χρησιμοποιήθηκε επίσης, για την μελέτη των αποτελεσμάτων της γραμμικής σύζευξης δύο ταυτόσημων τέτοιων συστημάτων, που έγινε στο κεφάλαιο 3. Στο κεφάλαιο 4, μελετήθηκε επίσης θεωρητικά, ο έλεγχος της συμπεριφοράς ενός χαοτικού συστήματος Duffing, όταν πραγματοποιείται η γραμμική του σύζευξη με ένα όμοιο σύστημα, που βρίσκεται σε περιοδική κατάσταση. Η δεύτερη ενότητα περιλαμβάνει τα κεφάλαια πέντε έως και οκτώ και περιέχει πειραματικά αποτελέσματα. Πιο αναλυτικά, στο πέμπτο κεφάλαιο, περιγράφεται η μελέτη και εργαστηριακή υλοποίηση ενός ηλεκτρονικού κυκλώματος, που υλοποιεί την εξίσωση Duffing. Στο επόμενο κεφάλαιο γίνεται πειραματικά η σύζευξη δύο κυκλωμάτων Duffing μέσω ενός γραμμικού αντιστάτη RC και παρατηρείται η επίτευξη του χαοτικού συγχρονισμού που αναμένονταν, για συγκεκριμένες τιμές του RC. Στο έβδομο κεφάλαιο γίνεται η παρουσίαση μιας ακόμη μεθόδου συγχρονισμού, της μεθόδου του αντιστρόφου συστήματος. Γίνεται η παράθεση του θεωρητικού υποβάθρου, που απαιτείται και στη συνέχεια παρουσιάζεται η υλοποίηση του αντιστρόφου κυκλώματος Duffing και η σύζευξη του με το αρχικό. Το όγδοο κεφάλαιο περιλαμβάνει τα αποτελέσματα της εφαρμογής της μεθόδου του αντιστρόφου συστήματος, σε ένα κρυπτογραφικό σύστημα, παρουσιάζοντας ταυτόχρονα τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά της κρυπτογραφίας. Η τρίτη ενότητα περιλαμβάνει τα τρία τελευταία κεφάλαια και η μελέτη περιστρέφεται γύρω από ένα αυτόνομο κύκλωμα παραγωγής διπλών σπειροειδών χαοτικών ελκυστών. Το κύκλωμα αυτό, παρουσιάζεται αναλυτικά στο ένατο κεφάλαιο, στο οποίο γίνεται και η παράθεση των θεωρητικών αλλά και πειραματικών αποτελεσμάτων, που προέκυψαν από την εργαστηριακή υλοποίηση του. Στο δέκατο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της γραμμικής σύζευξης δύο ταυτόσημων κυκλωμάτων παραγωγής διπλών σπειροειδών χαοτικών ελκυστών μέσω ενός γραμμικού αντιστάτη. Στο τελευταίο κεφάλαιο, γίνεται αναφορά σε μια ακόμα εφαρμογή των χαοτικών κυκλωμάτων, η οποία έχει να κάνει με τη χρήση τους, ως γεννήτριες παραγωγής τυχαίων bits. Η μέθοδος αυτή μελετήθηκε σε επίπεδο αλγορίθμου και πέρασε με επιτυχία όλα τα τεστ, που πιστοποιούν την ‘τυχαιότητα’ της παραγόμενης ακολουθίας bits.