Προβλήματα συνοριακών τιμών σε μη κυρτά χωρία

Abstract

Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις εμφανίζονται για πρώτη φορά τον 18ο αιώνα και δέχονται μεγάλη ανάπτυξη τον 19ο αιώνα. Αν και υπήρχαν μερικές παλαιότερες έρευνες, οι πρώτες κανονικές μελέτες άρχισαν τον 18ο αιώνα με τις μελέτες του Γάλλου d’Alembert και του Ελβετού Euler σχετικά με την κυματική, του Γάλλου Laplace σχετικά με τη θεωρία δυναμικού και του Γάλλου Fourier σχετικά με τη διάδοση της θερμότητας Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ) αποτέλεσαν το κεντρικό εργαλείο στην περιγραφή της μηχανικής των στερεών και των υγρών και πιο γενικά, ήταν ο κυριότερος τρόπος αναλυτικής μελέτης των διαφόρων φυσικών φαινομένων. Η ανάλυση των φυσικών μοντέλων έχει παραμείνει μέχρι και σήμερα να είναι ένας από τους βασικότερους μοχλούς στην ανάπτυξη των ΜΔΕ. Ακόμη, οι ΜΔΕ έπαιξαν και παίζουν ουσιώδη ρόλο στην ανάπτυξη και των άλλων κλάδων των μαθηματικών. Την άποψη αυτή διατύπωσε και ο Poincare στο προφητικό του άρθρο το 1890 όπου υπεστήριξε ότι σε όλο τον 20ο αιώνα οι ΜΔΕ από την μια πλευρά θα αποτελέσουν την κύρια γέφυρα μεταξύ των εφαρμοσμένων μαθηματικών και των φυσικών επιστημών και από την άλλη πλευρά θα θέσουν το υπόβαθρο για την ανάπτυξη μαθηματικών ιδεών σε κάποιες περιοχές των καθαρών (pure) μαθηματικών. Πράγματι, εξαιτίας των ΜΔΕ, έχουμε την ανάπτυξη και θεμελίωση των περιοχών των μαθηματικών όπως είναι η αλγεβρική γεωμετρία, διαφορική γεωμετρία, τοπολογία και οι πιθανότητες–στοχαστικές μέθοδοι. […]