Αριθμητική επίλυση της εξίσωσης του Schrodinger και προβλήματα ακουστικής

Abstract

In the first part of the present doctoral thesis we study the numerical solution of the Hamiltonian problems with the use of symplectic integrators. More specifically we study and construct symplectic methods for the case where the Hamiltonian is separable. Initially the existing symplectic methods are presented and analyzed. Then some optimized symplectic schemes are developed, two-step second-order and three-step third-order, from which all the existing schemes of corresponding orders can be extracted. Next a new base of conditions for symplectic methods with order up to five and k steps is constructed, on the basis of which forty six new symplectic schemes of fifth order and seven steps are produced for the first time. The above methods are applied to the radial time-independent Schrodinger equation. The Schrodinger equation is firstly transformed into a Hamiltonian canonical system. All the existing symplectic methods, with eight steps and order up to six, for a more general comparison of their effectiveness are also implemented. In the second part of the thesis, the construction of Runge - Kutta methods with minimal dispersion and dissipation and maximal stability and accuracy is studied. Initially, the existing corresponding methods are mentioned and analyzed. Afterwards a generator function is developed in which all the existing methods of fourth order are unified, and by using this generator we can construct a new Runge - Kutta method of fourth order and seven stages. The above method is implemented for the numerical solution of problems of acoustics and is compared with all the existing methods.

Στο πρώτο μέρος της παρούσας διδακτορικής διατριβής μελετάται η αριθμητική επίλυση Χαμιλτονιανών προβλημάτων, με την εφαρμογή συμπλεκτικών ολοκληρωτών. Ειδικότερα μελετώνται και κατασκευάζονται συμπλεκτικές μέθοδοι για την περίπτωση που η Χαμιλτονιανή είναι χωριζόμενων μεταβλητών. Αρχικά παρατίθενται και αναλύονται οι υπάρχουσες συμπλεκτικές μέθοδοι. Κατόπιν δημιουργούνται δύο βελτιωμένα συμπλεκτικά σχήματα, δεύτερης τάξης δυο βημάτων και τρίτης τάξης τριών βημάτων από τα οποία και εξάγονται όλα τα υπάρχοντα σχήματα αντιστοίχων τάξεων. Στη συνέχεια κατασκευάζεται μια νέα βάση συνθηκών για τη δημιουργία συμπλεκτικών μεθόδων μέχρι και πέμπτης τάξης - k βημάτων, βάσει της οποίας θα κατασκευαστούν για πρώτη φορά σαράντα έξι νέα συμπλεκτικά σχήματα πέμπτης τάξης επτά βημάτων. Οι ανωτέρω μέθοδοι εφαρμόζονται στην επίλυση της χρονικά ανεξάρτητης εξίσωσης του Schrodinger, αφού πρώτα αυτή μετατραπεί σε ένα κανονικό Χαμιλτονιανό σύστημα. Εφαρμόζονται επίσης και όλες σχεδόν οι υπάρχουσες συμπλεκτικές μέθοδοι, μέχρι και έκτης τάξης οκτώ βημάτων, για μια γενικότερη σύγκριση της αποτελεσματικότητας τους. Στο δεύτερο μέρος μελετάται η κατασκευή Runge - Kutta μεθόδων με ελάχιστη διασπορά και απώλειες και μέγιστη ευστάθεια και ακρίβεια. Αρχικά παρατίθενται και αναλύονται οι υπάρχουσες αντίστοιχες μέθοδοι. Κατόπιν δημιουργείται μια γεννήτρια συνάρτηση στην οποία ενοποιούνται όλες οι υπάρχουσες μέθοδοι τέταρτης τάξης και βάσει αυτής κατασκευάζεται και μια νέα Runge - Kutta μέθοδος τέταρτης τάξης επτά σταδίων. Η ανωτέρω μέθοδος εφαρμόζεται στην επίλυση προβλημάτων ακουστικής και συγκρίνεται με όλες τις υπάρχουσες μεθόδους.