ΜΗ ΑΡΧΙΜΗΔΕΙΟΙ ΧΩΡΟΙ ΒΑΡΩΝ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Abstract

ΤΟ ΘΕΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΜΗ ΑΡΧΙΜΗΔΕΙΟΙ ΧΩΡΟΙ ΒΑΡΩΝ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ CV(X,E), ΟΠΟΥ Χ ΕΝΑΣ HAUSDORFF ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ, V ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ NACHBIN ΣΤΟΝ Χ ΚΑΙ Ε ΕΝΑΣ ΜΗ ΑΡΧΙΜΗΔΕΙΟΣ ΤΟΠΙΚΑ ΚΥΡΤΟΣ ΧΩΡΟΣ. ΚΑΤΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΧΩΡΩΝ ΑΥΤΩΝ ΣΠΟΥΔΑΙΟ ΡΟΛΟ ΠΑΙΖΟΥΝ ΟΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΟΥ ΠΟΛΙΚΟΥ ΜΗ ΑΡΧΙΜΗΔΕΙΟΥ ΤΟΠΙΚΑ ΚΥΡΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Ε ΚΑΙ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΥ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ Χ. ΣΕ ΑΡΚΕΤΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΑΣ ΕΙΝΑΙ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΕΚΕΙΝΑ ΤΗΣ ΚΛΑΣΣΙΚΗΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ, ΑΝ ΚΑΙ ΣΥΧΝΑ ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΩΝ ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΝ ΑΛΛΑΖΟΥΝ ΕΝΤΕΛΩΣ. ΔΙΝΟΥΜΕ ΙΚΑΝΕΣΣΥΝΘΗΚΕΣ ΩΣΤΕ Ο CV(X,E) ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΠΛΗΡΗΣ, ΑΡΙΘΜΗΣΙΜΟΥ ΤΥΠΟΥ, ΣΧΕΔΟΝ ΣΤΑΘΜΗΤΟΣ, (DF) ΚΑΙ Σ-ΤΟΠΙΚΑ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΑ. ΕΠΙΣΗΣ, ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ ΟΤΙ ΥΠΟ ΠΡΟ~ΠΟΘΕΣΕΙΣ, Ο ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΣ ΔΥΙΚΟΣ ΤΟΥ ΥΠΟΧΩΡΟΥ CVΟ(Χ,Ε) ΤΟΥ CV(X,E) ΕΙΝΑΙ ΑΛΓΕΒΡΙΚΑ ΙΣΟΜΟΡΦΙΚΟΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΧΩΡΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΩΝ. ΑΚΟΜΗ ΔΙΝΟΥΜΕ ΙΚΑΝΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΩΣΤΕ ΤΑ ΣΥΜΠΑΓΟΕΙΔΗ ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ ΤΟΥ CVO(X,E) ΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΕΝΟΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΥΠΟΥ ARZELA-ASCOLI. ΤΕΛΟΣ, ΜΕΛΕΤΟΥΜΕ ΤΟ Π-ΤΑΝΥΣΤΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ CVO(X)#Π CUO(Y,E) ΓΙΑ ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΔΙΑΤΥΠΩΝΟΥΜΕ ΜΙΑ ΙΚΑΝΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΓΙΑ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΑ ΙΣΟΜΟΡΦΙΚΟ ΜΕ ΕΝΑΝ ΜΗ ΑΡΧΙΜΗΔΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ ΒΑΡΩΝ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ.

IN THIS DISSERTATION WE STUDY THE NON-ARCHIMEDEAN WEIGHTED SPACES OF CONTINUOUS FUNCTIONS CV(X,E), WHERE X IS A HAUSDORFF TOPOLOGICAL SPACE, V A NACHBIN FAMILY ON X AND E A NON-ARCHIMEDEAN LOCALLY CONVEX SPACE. THE NOTIONS OF THE POLAR NON-ARCHIMEDEAN LOCALLY CONVEX SPACE E AND THE ZERODIMENSIONAL TOPOLOGICAL SPACE X ARE VERY IMPORTANT FOR THE DEVELOPMENT OF OUR THEORY. IN SEVERAL CASES OUR RESULTS ARE ANALOGOUS TO THE ONES OF THE CLASSICAL CASE, ALTHOUGH THE PROVING METHODS ARE OF TEN OFTEN COMPLETELY DIFFERENT. WE GIVE SUFFICIENT CONDITIONS FOR CV(X,E) TO BE COMPLETE, OF COUNTABLE TYPE, QUASINORMABLE, (DF) AND Σ-LOCALLY TOPOLOGICAL RESPECTIVELY. WE ALSO PROVE THAT ON CERTAIN CONDITIONS, THE TOPOLOGICAL DUAL OF THE SUBSPACE CVO(X,E) OF CV(X,E) IS ALGEBRAICALLY ISOMORPHIC TO A FINITELY ADDITIVE MEASURE SPACE. WE GIVE SOME SUFFICIENT CONDITIONS SO AS THE COMPACTOID SUBSETS OF CVO(X,E) TO BE DESCRIBED BY AN ARZELA-ASCOLI THEOREM. AT LAST, WE STUDY THE Π-TENSOR PRODUCT CVO(X)#ΠCUO(Y,E) AND WE STATE A SUFFICIENT CONDITION SO AS CVO(X)#ΠCUO(Y,E) BE TOPOLOGICALLY ISOMORPHIC TO A SUBSPACE OF A NON-ARCHIMEDEAN WEIGHTED SPACE OF CONTINUOUS FUNCTIONS.