Computational multiresolution wavelet-based methods for transient structural dynamic simulations with intrinsic localization and error estimation capabilities

Abstract

The present thesis focuses on the development of a multiresolution wavelet-based computational method for the efficient and multifunctional simulation of transient dynamic structural responses. The proposed method employes the Daubechies scaling and wavelet functions as basis functions for the approximation of field variables. The remarkable mathematical properties of the Daubechies wavelet family result in hierarchical multiresolution equations of motion with two types of solutions: the first solution type is named as “coarse” solution and utilizes the Daubechies scaling functions as basis, while the second type is called “fine” solution and uses the Daubechies wavelet functions as basis. The multiresolution discretized algebraic system starts with the calculation of the coarse solution, that provides an initial approximation, and then this solution can be further enriched by the summation of fine solutions until the desired level of accuracy is achieved. The orthogonality between the Daubechies scaling and wavelet functions leads to resolution-decoupled total mass matrices, namely, the coarse and fine solutions are totally uncoupled with respect to the mass matrix. So, the absence of mass coupling terms results in the independent calculation of the two resolution components (coarse, fine) in each time step, thus reducing the algebraic system size in half. Also, the orthogonality of the Daubechies scaling and wavelet functions yields diagonal mass matrices for both coarse and fine solutions. This is extremely important when it comes to transient dynamics because the utilization of explicit time integration schemes requires the inversion of the mass matrix, which is a rapid operation if the matrix is diagonal. Concerning the numerical formulation of the multiresolution method, termed as MR-FWD method, two new types of wavelet-based beam elements are developed; one following the first-order shear deformation theory, and the second encompassing a high-order laminate layerwise theory. These novel wavelet-based beam elements are tested against conventional finite elements, time domain spectral finite elements and other wavelet-based elements in numerical case studies of wave propagation in isotropic and composite beams and sandwich strips. In all cases, the proposed method manifests outstanding results considering the requirement of nodes for convergence, as well as the computing times. Moreover, the advanced capacity of the layerwise wavelet-based strip elements is demonstrated through the accurate prediction of fundamental (A0,S0) and higher (A1,S1) guided wave modes in thick sandwich composites. Furthermore, a new wavelet-based plate element is constructed based on the Reissner-Mindlin plate theory. The 2D wavelet-based plate elements reveal extraordinary convergence rates compared to time domain spectral finite elements and other wavelet-based elements in guided wave propagation analyses of isotropic and laminated plate structures. Besides the computational advantages of the method, it is shown that the fine solutions in all element types have additional inherent localization capabilities that emanate from the Daubechies wavelets. These localization properties make possible for the fine solutions to capture different structural responses based on the involved materials, geometric characteristics and wave direction (in 2D cases), among other characteristics. This notable behavior can lead to intrinsic error estimation through the direct comparison of multiple resolution components of the proposed method. After extensive study of the behavioral patterns of the various resolution components, it is deduced that the ratios of specific solutions can constitute explicit convergence indicators. In that way, the multiresolution procedure can stop at the intended level of accuracy without the need of convergence checks or any sort of comparisons with other results. Apart from that, the developed convergence indices can estimate the error locally, providing the basis for local solutions enrichment strategies. By this means, these indicators are leveraged for the creation of targeted and adaptive multiresolution refinement techniques. The targeted refinement works like a numerical microscope and increases the initial solution’s fidelity on an ad hoc basis. The automatic adaptive refinement utilizes the convergence indicators in order to enhance the solution’s accuracy only in the timesteps and nodes that it is needed. Both the targeted and adaptive refinement techniques exhibit very good accuracy and drastically decrease the solver durations, making the proposed method even faster. Finally, the intrinsic localization capacity of the method is further leveraged for the development of inverse methodologies for wave-based parameter estimation. The application of the proposed methodologies requires full-field data of the wave propagation phenomenon. The data are decomposed using wavelet decomposition, resulting in approximation and detail datasets, that are directly comparable to the coarse and the fine solutions of the MR-FWD method, respectively. Thus, the proposed inverse methodologies take advantage of the high sensitivity and localization properties of the fine solutions in order to create a model update procedure that compares the fine solutions of the MR-FWD model to the detail data of the experimental measurements for the estimation of the design variables. Numerical case studies of wave-based damage detection in composite strips and 2D solids are performed, manifesting the proposed methods’ superior accuracy compared to traditional methodologies.

Η παρούσα διατριβή εστιάζει στην ανάπτυξη μιας υπολογιστικής μεθόδου πολλαπλών αναλύσεων βασισμένη σε κυματίδια, για την αποτελεσματική και πολύ-λειτουργική προσομοίωση μεταβατικών δυναμικών αποκρίσεων κατασκευών. Η προτεινόμενη μέθοδος χρησιμοποιεί τις scaling functions1 και wavelet functions2 της οικογένειας Daubechies ως συναρτήσεις βάσης για την προσέγγιση των μεταβλητών κατάστασης. Οι αξιοσημείωτες μαθηματικές ιδιότητες της οικογένειας κυματιδίων Daubechies οδηγούν σε ιεραρχικές εξισώσεις κίνησης πολλαπλής ανάλυσης με δύο τύπους λύσεων: ο πρώτος τύπος λύσης ονομάζεται "χονδροειδής" λύση και χρησιμοποιεί ως βάση τις scaling functions, ενώ ο δεύτερος τύπος ονομάζεται "λεπτομερής" λύση και χρησιμοποιεί ως βάση τις wavelet functions. Το διακριτοποιημένο αλγεβρικό σύστημα πολλαπλών αναλύσεων ξεκινά με τον υπολογισμό της χονδροειδούς λύσης που παρέχει μια αρχική προσέγγιση, και στη συνέχεια αυτή η προσέγγιση μπορεί να εμπλουτιστεί περαιτέρω με το άθροισμα λεπτομερών λύσεων, μέχρι να επιτευχθεί το επιθυμητό επίπεδο ακρίβειας. Η ορθογωνιότητα μεταξύ των scaling και wavelet functions οδηγεί σε μη συζευγμένα ολικά μητρώα μάζας, δηλαδή, η χονδροειδής και η λεπτομερής λύση είναι εντελώς ανεξάρτητες αναφορικά με το μητρώο μάζας. Η απουσία όρων σύζευξης στο μητρώο μάζας έχει ως αποτέλεσμα τον ανεξάρτητο υπολογισμό των δύο συνιστωσών (χονδροειδής, λεπτομερής) σε κάθε χρονικό βήμα, μειώνοντας έτσι το μέγεθος του αλγεβρικού συστήματος στο μισό. Επίσης, η ορθογωνιότητα των scaling και wavelet functions οδηγεί σε διαγώνια μητρώα μάζας τόσο για τις χονδροειδείς όσο και για τις λεπτομερείς λύσεις. Αυτό είναι εξαιρετικά σημαντικό στις μεταβατικές δυναμικές αναλύσεις καθώς με τη χρήση σχημάτων άμεσης χρονικής ολοκλήρωσης απαιτείται μόνο η αντιστροφή του μητρώου μάζας, η οποία γίνεται ταχύτατα σε διαγώνια μητρώα. Όσον αφορά στην αριθμητική διατύπωση της μεθόδου πολλαπλών αναλύσεων, που ονομάζεται και μέθοδος MR-FWD, αναπτύσσονται δύο νέοι τύποι κυματιδιακών στοιχείων δοκού. Ο ένας τύπος στοιχείων ακολουθεί τη θεωρία διατμητικής παραμόρφωσης πρώτης τάξης και ο δεύτερος περιλαμβάνει μια θεωρία διακριτών στρωμάτων υψηλής τάξης. Τα νέα στοιχεία δοκού συγκρίνονται με συμβατικά πεπερασμένα στοιχεία, ανώτερα φασματικά πεπερασμένα στοιχεία και άλλα στοιχεία κυματιδίων σε αριθμητικές μελέτες διάδοσης κυμάτων σε ισότροπες και σύνθετες δοκούς και δομές τύπου σάντουιτς. Σε όλες τις περιπτώσεις που μελετήθηκαν, η προτεινόμενη μέθοδος εμφανίζει εξαιρετικά αποτελέσματα σχετικά με την απαίτηση σε κόμβους για επίτευξη σύγκλισης, καθώς και σχετικά με τους χρόνους ανάλυσης. Επίσης, οι προηγμένες δυνατότητες των στοιχείων δοκού που βασίζονται στη θεωρία διακριτών στρωμάτων παρουσιάζονται μέσω της ακριβούς πρόβλεψης των θεμελιωδών (A0,S0) και υψηλότερων (A1,S1) μορφών καθοδηγούμενων κυμάτων (guided waves) σε σύνθετες δομές τύπου σάντουιτς. Επιπρόσθετα, αναπτύσσεται ένα νέο κυματιδιακό στοιχείο πλάκας βασισμένο στη θεωρία πλακών Reissner-Mindlin. Τα στοιχεία αυτά εμφανίζουν εξαιρετικούς ρυθμούς σύγκλισης σε αναλύσεις διάδοσης καθοδηγούμενων κυμάτων σε ισότροπες και σύνθετες πλάκες σε σύγκριση με φασματικά πεπερασμένα στοιχεία και άλλα κυματιδιακά στοιχεία. Εκτός από τα υπολογιστικά πλεονεκτήματα της μεθόδου, φαίνεται ότι οι λεπτομερείς λύσεις σε όλους τους τύπους στοιχείων έχουν πρόσθετες εγγενείς δυνατότητες εντοπισμού που προέρχονται από τις wavelet functions. Αυτές οι ιδιότητες εντοπισμού καθιστούν δυνατό στις λεπτομερείς λύσεις να προσεγγίζουν διαφορετικές δομικές αποκρίσεις με βάση τα υλικά, τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά και την κατεύθυνση των κυμάτων (σε περιπτώσεις 2 ), μεταξύ άλλων παραμέτρων. Αυτή η αξιοσημείωτη συμπεριφορά μπορεί να οδηγήσει σε εγγενείς δυνατότητες εκτίμησης σφαλμάτων μέσω της άμεσης σύγκρισης των πολλαπλών λύσεων της προτεινόμενης μεθόδου. Μετά από εκτενή μελέτη των μοτίβων συμπεριφοράς των διαφόρων συνιστωσών της μεθόδου, συνάγεται ότι οι λόγοι συγκεκριμένων λύσεων μπορούν να αποτελέσουν σαφείς δείκτες σύγκλισης. Με αυτόν τον τρόπο, η διαδικασία πολλαπλών αναλύσεων μπορεί να σταματήσει στο επιδιωκόμενο επίπεδο ακρίβειας χωρίς την ανάγκη ελέγχων σύγκλισης ή οποιουδήποτε είδους σύγκριση με άλλα μοντέλα. Εκτός αυτού, οι προτεινόμενοι δείκτες σύγκλισης μπορούν να εκτιμήσουν το σφάλμα τοπικά, παρέχοντας τη βάση για στρατηγικές τοπικού εμπλουτισμού της λύσης. Έτσι, προτείνονται και μεθοδολογίες πολλαπλών αναλύσεων με στοχευμένες και προσαρμοστικές τεχνικές βελτίωσης της λύσης. Η τεχνική στοχευμένης βελτίωσης λειτουργεί σαν ένα αριθμητικό μικροσκόπιο και αυξάνει την ακρίβεια της αρχικής λύσης σε όποια πεδία χώρου και χρόνου επιλεχθούν. Η τεχνική προσαρμοστικής βελτίωσης χρησιμοποιεί τους δείκτες σύγκλισης για να βελτιώσει με αυτόματο τρόπο την ακρίβεια της λύσης μόνο στα χρονικά βήματα και στους κόμβους που χρειάζεται. Οι προαναφερθείσες τεχνικές βελτίωσης παρουσιάζουν πολύ καλή ακρίβεια και μειώνουν δραστικά τις διάρκειες των αναλύσεων, καθιστώντας την προτεινόμενη μέθοδο ακόμα πιο γρήγορη. Τέλος, οι εγγενείς δυνατότητες εντοπισμού της μεθόδου αξιοποιούνται περαιτέρω για την ανάπτυξη αντίστροφων μεθοδολογιών για την εκτίμηση παραμέτρων βάσει κυματικής διάδοσης. Η εφαρμογή των προτεινόμενων μεθοδολογιών απαιτεί δεδομένα πλήρους πεδίου (full field data) της κυματικής διάδοσης στην υπό εξέταση κατασκευή. Τα δεδομένα μετασχηματίζονται χρησιμοποιώντας την αποσύνθεση κυματιδίων (wavelet decomposition), με αποτέλεσμα να δημιουργούνται δύο σετ δεδομένων, τα προσεγγιστικά (approximation) και τα αναλυτικά (detail), που είναι άμεσα συγκρίσιμα με τις χονδροειδείς και τις λεπτομερείς λύσεις της μεθόδου MR-FWD, αντίστοιχα. Έτσι, οι προτεινόμενες αντίστροφες μεθοδολογίες εκμεταλλεύονται τις ιδιότητες εντοπισμού των λεπτομερών λύσεων προκειμένου να δημιουργήσουν μια διαδικασία ενημέρωσης μοντέλων (model update) που συγκρίνει τις λεπτομερείς λύσεις του μοντέλου MR-FW με το αναλυτικό σετ των πειραματικών δεδομένων για την εκτίμηση των μεταβλητών σχεδιασμού. Με την πραγματοποίηση αριθμητικών μελετών ανίχνευσης βλάβης με διάδοση κυμάτων σε σύνθετες δοκούς και 2 στερεά, αποκαλύπτεται η ανώτερη ακρίβεια των προτεινόμενων μεθόδων σε σύγκριση με παραδοσιακές μεθοδολογίες.