The asymptomatic refinement of the Linear Model with Non-Scalar Error Covariance Matrix

Abstract

In the linear regression model with non-scalar error covariance matrix, Refined Generalised Least Squares (RGL) estimators are developed, with better small-sample properties compared to the feasible FGL estimators. The RGL estimator of a structural parameter approximates the benchmark GLS estimator better than the corresponding FGL estimator. The RGL estimator has better bias, variance, and mean square error, in small samples, compared to the corresponding FGL estimator. The RGL estimator results in small-sample size corrected t and F econometric tests. The RGL size corrections and the corresponding Edgeworth and Cornish-Fisher size corrections, used for the t and F tests based on the FGL estimator, are second-order equivalent. For all these theoretical reasons, we suggest the use of the RGL estimator instead of the FGL estimator. In the linear regression model with AR(1) random errors, the RGL size corrected t and F tests are preferable for large absolute values of the autocorrelation coefficient, while the corresponding FGL size corrected econometric tests are preferable for small and intermediate absolute values of the autocorrelation coefficient. In practice, since the true autocorrelation coefficient is unknown, the researchers' choice of suitable estimation and testing techniques is based on the estimated autocorrelation coefficient. Although the Edgeworth, Cornish-Fisher, and RGL size corrections have an error of the same order of magnitude, the corresponding t and F size corrected tests may differ considerably in small samples. Given that these three size corrections can be compared only by means of simulation experiments, there is no guarantee that the simulation results hold in every practical situation. For this reason, in each particular problem, the researcher should apply both the FGL and RGL estimators, and all three small-sample size corrections, to decide the most suitable one.

Στο γραμμικό υπόδειγμα παλινδρόμησης με μη-βαθμωτή μήτρα διακυμάνσεων-συνδιακυμάνσεων, ο Εκλεπτυσμένος Εκτιμητής Γενικευμένων Ελαχίστων Τετραγώνων (RGL) έχει καλύτερες ιδιότητες μικρού δείγματος σε σχέση με τον αντίστοιχο Εφικτό Εκτιμητή Γενικευμένων Ελαχίστων Τετραγώνων (FGL). Ο εκτιμητής RGL μιας διαρθρωτικής παραμέτρου προσεγγίζει τον ιδανικό Εκτιμητή Γενικευμένων Ελαχίστων Τετραγώνων (GLS) καλύτερα από τον αντίστοιχο FGL εκτιμητή. Ο εκτιμητής RGL έχει, σε μικρά δείγματα, καλύτερη μεροληψία, διακύμανση και μέσο τετραγωνικό σφάλμα συγκρινόμενος με τον αντίστοιχο FGL εκτιμητή και δίνει διορθωμένους t και F οικονομετρικούς ελέγχους. Οι Edgeworth, Cornish-Fisher και RGL διορθωμένοι έλεγχοι είναι ισοδύναμοι σε δεύτερης τάξεις προσεγγίσεις. Για όλους αυτούς τους θεωρητικούς λόγους προτείνουμε τη χρήση του RGL εκτιμητή. Στο γραμμικό υπόδειγμα παλινδρόμησης με AR(1) τυχαία σφάλματα, οι RGL διορθωμένοι t και F έλεγχοι είναι καλύτεροι για μεγάλες απόλυτες τιμές του συντελεστή αυτοσυσχέτισης, ενώ οι αντίστοιχοι Edgeworth και Cornish-Fisher διορθωμένοι έλεγχοι είναι καλύτεροι για μικρές και ενδιάμεσες απόλυτες τιμές του συντελεστή αυτοσυσχέτισης. Στην πράξη, εφόσον ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης είναι άγνωστος, η επιλογή της κατάλληλης εκτιμητικής μεθόδου και των κατάλληλων ελέγχων βασίζεται στον εκτιμημένο συντελεστή αυτοσυσχέτισης. Παρ' όλο που ασυμπτωτικά οι Edgeworth, Cornish-Fisher και RGL διορθώσεις έχουν ένα σφάλμα της ίδιας τάξης μεγέθους, οι αντίστοιχοι t και F διορθωμένοι έλεγχοι μπορεί να διαφέρουν σημαντικά σε μικρά δείγματα. Δεδομένου ότι οι τρεις μέθοδοι διόρθωσης μπορούν να συγκριθούν μόνο με μεθόδους προσομοίωσης, τίποτα δεν εξασφαλίζει ότι τα αποτελέσματα μιας συγκεκριμένης προσομοίωσης ισχύουν σε κάθε περίπτωση. Γι' αυτό σε κάθε συγκεκριμένο πρόβλημα προτείνουμε να εφαρμόζονται και οι FGL και οι RGL εκτιμητές, καθώς και οι τρεις μέθοδοι διόρθωσης, ώστε ο ερευνητής να επιλέξει την καταλληλότερη διαδικασία εκτίμησης και ελέγχου.