Η φύση της εννοιολογικής αλλαγής και μεθοδολογικά ζητήματα μέσω της διερεύνησης νοητικών μοντέλων σε μαθηματικές έννοιες

Abstract

The aim of this study is to explore the nature of students' knowledge before they acquire the science view. Specifically, it focuses on rational numbers and geometric thinking, where in recent decades, the scientific community has shown particular interest in the nature of the pre-existing knowledge that students possess when they enter school, due to their everyday experience. Two different theoretical perspectives have proposed on this issue. The first argues that the pre-existing / naive knowledge is coherent and hard to change. Therefore, it justifies the difficulties of students understanding the respective concepts, when they are taught in the school classroom. In the other hand, the second theoretical perspective advocates the fragmented knowledge hypothesis, where students ‘naïve knowledge or pre-existing ideas consist of semi-independent parts (the p-prims), which are organized on demand, under specific tasks. In this work two studies are included. On focuses on rational numbers and the other on geometric thinking, and in both the above two hypotheses were tested by implementing advanced statistical methods. In the first, certain intermediate models or stages of understanding rational numbers that have been proposed in the literature, were sought using a confirmatory methodology, and specifically Latent Class Analysis (LCA). The results did not support the coherent knowledge hypothesis. The same methodology was also used to test the existence of levels or intermediate stages of geometric thinking, as proposed by Van Hiele. In addition, two cognitive variables, logical thinking or formal reasoning and field dependence/ independence, were implemented as independent variables to explain the variations in students’ performance, where linear and nonlinear models were used. Both cognitive variables were significant predictors of student’s achievement in arithmetic and geometric thinking. The nonlinear, cusp catastrophe model was superior to its linear alternative and demonstrated that changes in the dependent variable occur as sudden shifts or transitions. The findings are in line with previous reports, and overall, they support that intermediate stages indeed exist in the processes of conceptual change in mathematics, and that changes could happen in a nonlinear mode. The main contribution of this work is its methodological dimension, where the Latent Class Analysis was shown, in tandem with catastrophe theory modeling, which belongs to the Complexity and Nonlinear Dynamical Systems framework, as the proper tools for studying conceptual challenge in mathematics education.

Αντικείμενο της παρούσας μελέτης αποτελεί η γνώση των μαθητών πριν υιοθετήσουν την επιστημονική άποψη. Η επιστημονική κοινότητα έχει δείξει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στο θέμα της φύσης της προϋπάρχουσας γνώσης που κατέχουν οι μαθητές κατά την εισαγωγή τους στο σχολείο, λόγω της καθημερινής τους εμπειρίας. Μια θεωρητική προοπτική υποστηρίζει πως η προϋπάρχουσα / αφελής (naïve) γνώση είναι συνεκτική (coherent) και, ως εκ τούτου, αποτελεί εμπόδιο στην κατανόηση της επιστημονικής θεώρησης των εκάστοτε εννοιών, όταν διδάσκονται στη σχολική τάξη. Εν αντιθέσει με την πρώτη θεώρηση, έχει διατυπωθεί η υπόθεση της κατακερματισμένης (fragmented) γνώσης, όπου οι προϋπάρχουσες ιδέες αποτελούνται από ημιανεξάρτητα τμήματα (τα p-prims), τα οποία οργανώνονται κατ’ απαίτηση, όταν υπάρχει κάποιο έργο. Στην ανά χείρας διατριβή παρουσιάζονται δύο μελέτες. Στην πρώτη, μελετήθηκε η φύση της προϋπάρχουσας γνώσης των μαθητών για τους φυσικούς αριθμούς και συγκεκριμένα εξετάσθηκαν πέντε συνθετικά νοητικά μοντέλα ή πέντε υποθετικά ενδιάμεσα στάδια που εκφράζουν τις λανθασμένες ιδέες που σχηματίζουν οι μαθητές κατά την προσπάθειά τους να ενσωματώσουν τη νέα έννοια των ρητών στις ήδη υπάρχουσες γνωστικές δομές για τους φυσικούς αριθμούς. Στην επεξεργασία των εμπειρικών δεδομένων αξιοποιήθηκε η Ανάλυση Λανθανουσών Τάξεων (Latent Class Analysis, LCA), η οποία εφαρμόστηκε επιβεβαιωτικά με βάση συγκεκριμένα μοντέλα που έχουν προταθεί στην βιβλιογραφία. Τα αποτελέσματα της LCA δεν στηρίζουν την υπόθεση της συνεκτικής γνώσης, όπως διατυπώθηκε με τα εν λόγω νοητικά μοντέλα. Η δεύτερη μελέτη εστιάζεται στον εντοπισμό με επιβεβαιωτική LCA προσέγγιση των επιπέδων (ενδιάμεσων σταδίων) γεωμετρικής σκέψης, όπως αναπτύχθηκαν από τους Van Hiele. Επιπλέον, μετρήθηκαν και αξιοποιήθηκαν δύο γνωστικές μεταβλητές, η λογική σκέψη ή τυπική συλλογιστική (formal reasoning) και η εξάρτηση/ανεξαρτησία από το πεδίο (field dependence/independence) ως ανεξάρτητες μεταβλητές σε γραμμικά και μη γραμμικά μοντέλα για την εξήγηση της διακύμανσης στην επίδοση των μαθητών στην αριθμητική και τη γεωμετρική σκέψη. Το μη γραμμικό μοντέλο, cuso model θεωρίας καταστροφών είχε καλύτερη προσαρμογή από το αντίστοιχο γραμμικό και υποδεικνύει ότι οι αλλαγές στην εξαρτημένη μεταβλητή μπορεί να συμβούν ως ξαφνικές μεταβάσεις ή μεταπτώσεις μεταξύ διακριτών επιπέδων. Τα ευρήματα συνάδουν με προηγούμενες έρευνες και γενικά υποστηρίζουν ότι υπάρχουν πράγματι ενδιάμεσα στάδια στις διαδικασίες εννοιολογικής αλλαγής στα μαθηματικά και ότι οι αλλαγές θα μπορούσαν να συμβούν με μη γραμμικό τρόπο. Η κύρια συνεισφορά αυτής της εργασίας είναι η μεθοδολογική της διάσταση, όπου παρουσιάστηκε η Λανθάνουσα Ταξική Ανάλυση, σε συνδυασμό με τη μοντελοποίηση της θεωρίας καταστροφών, η οποία ανήκει στο πλαίσιο Πολυπλοκότητας και Μη γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων, ως τα κατάλληλα εργαλεία για τη μελέτη της εννοιολογικής αλλαγής στη διδακτική των μαθηματικών.