Goodness–of–fit tests in stochastic frontier models

Abstract

Stochastic Frontier Models (SFMs) are widely used in efficiency analysis, where they help to estimate the efficiency of decision-making units. In contrast with conventional zero-mean error term models, the fundamental concept behind SFMs is the existence of an asymmetric, non zero-mean composed error term. This composed error term consists of two random variables – representing random noise and inefficiency – and the identification of a SFM relies heavily on the distribution assumptions for each of these variables. In the literature goodness-of-fit (GoF) tests have been developed for ensuring that the estimated models accurately represent the data, and consequently providing reliable efficiency measures. However, most of these tests are not omnibus, i.e. they may have negligible power against certain alternatives. Our approach is to define omnibus tests for the parametric assumptions, that is procedures which, being based on consistent tests, enjoy non-negligible power for arbitrary deviations from the null model, and not just for directive alternatives. Specifically, we propose GoF tests formulated as a weighted integral of properly standardized data for the distribution of the composed error term. Instead of the classical tools of moments, densities or cumulative distribution functions, our approach is based on the distributional transforms, such as the characteristic function, the moment generating function and the Laplace transform. To this end, since the composed error term in the SFM framework is always defined as the sum of two random variables, we capitalize on the property that for these transforms, the transform of the sum of independent components is equal to the product of the transforms of the individual components. A variety of models are considered in this work, including the normal/exponential, normal/gamma, and stable/gamma frontier models. We examine the commonly assumed models of normal/exponential and normal/gamma with fixed gamma shape parameter. The new test statistics are shown to be consistent and computationally convenient, and bootstrap versions of the tests are shown to have competitive power compared to the classical Kolmogorov-Smirnov and Cramer-von Mises tests in finite samples. Following, we examine the more complicated – in terms of the underlying distribution function – cases, those of normal/gamma with both gamma parameters unknown and the stable/gamma models. Despite their complex functional form, the proposed tests are computationally efficient as they avoid numerical integration, making them easier to implement compared to traditional distribution function-based tests. The proposed normal/gamma test is consistent, and it is shown to have an intrinsic relation to moment-based tests, while the proposed stable/gamma test provides a method through which allows to distinguish between a medium-tailed normal/gamma and a purely heavy-tailed stable/gamma SFM. The application of our methods on real-data serves the purpose of investigating the presence of heavy–tails in the empirical modelling of production, where our results lead to non-rejection of a normal/gamma SFM null hypothesis. In summary, our approach provides significant advancements in the form of new statistical tests for SFMs.

Τα Στοχαστικά Υποδείγματα Συνόρων (SFM) χρησιμοποιούνται ευρέως στην ανάλυση αποδοτικότητας, και βοηθούν στην εκτίμηση της αποδοτικότητας των μονάδων λήψης αποφάσεων. Σε αντίθεση με τα συμβατικά μοντέλα σφάλματος μηδενικού μέσου όρου, η θεμελιώδης ιδέα πίσω από τα SFM είναι η ύπαρξη ενός ασύμμετρου, μη-μηδενικής μέσης τιμής, σύνθετου όρου σφάλματος. Αυτός ο σύνθετος όρος σφάλματος αποτελείται από δύο τυχαίες μεταβλητές – οι οποίες αντιπροσωπεύουν τον τυχαίο θόρυβο και την αναποτελεσματικότητα – και ο χαρακτηρισμός ενός SFM βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στις υποθέσεις για την κατανομή καθεμίας από αυτές τις μεταβλητές. Στη βιβλιογραφία έχουν αναπτυχθεί (στατιστικοί) έλεγχοι καλής προσαρμογής (GoF tests) για να εξασφαλίσουν ότι τα εκτιμώμενα μοντέλα αντιπροσωπεύουν με ακρίβεια τα δεδομένα, παρέχοντας έτσι αξιόπιστα μέτρα αποδοτικότητας. Ωστόσο, οι περισσότεροι από αυτούς τους ελέγχους δεν είναι “omnibus”, δηλαδή μπορεί να έχουν αμελητέα δύναμη ενάντια σε ορισμένες εναλλακτικές υποθέσεις. Η προσέγγισή μας είναι να ορίσουμε στατιστικούς ελέγχους για τις παραμετρικές υποθέσεις των κατανομών των όρων του σύνθετου σφάλματος οι οποίοι θα είναι “omnibus”, δηλαδή στατιστικοί ελέγχοι οι οποίοι είναι συνεπείς, και παρουσιάζουν μη-αμελητέα δύναμη κάτω από αυθαίρετες αποκλίσεις από τη μηδενική υπόθεση και όχι μόνο για συγκεκριμένες και καθορισμένες εναλλακτικές υποθέσεις. Πιο συγκεκριμένα, προτείνουμε ελέγχους καλής προσαρμογής οι οποίοι ορίζονται ως ένα σταθμισμένο ολοκλήρωμα κατάλληλα κανονικοποιημένων δεδομένων για την κατανομή του σύνθετου όρου σφάλματος. Αντί για τα κλασικά εργαλεία τα οποία χρησιμοποιούν ροπές, συναρτήσεις κατανομής ή αθροιστικές συναρτήσεις κατανομής, η προσέγγισή μας βασίζεται στους μετασχηματισμούς κατανομών, όπως είναι η Χαρακτηριστική Συνάρτηση (CF), η Ροπογεννήτρια Συνάρτηση (MGF) και ο μετασχηματισμός Laplace. Για αυτόν τον σκοπό, δεδομένου ότι ο σύνθετος όρος σφάλματος ενός SFM ορίζεται πάντα ως το άθροισμα δύο επιμέρους τυχαίων μεταβλητών, αξιοποιούμε την ιδιότητα ότι ο μετασχηματισμός του αθροίσματος των (ανεξάρτητων μεταξύ τους) συνιστωσών του σφάλματος ισούται με το γινόμενο των μετασχηματισμών των επιμέρους συνιστωσών. Στην παρούσα διατριβή εξετάζεται μια σειρά υποδειγμάτων, και πιο συγκεκριμένα τα normal/exponential, normal/gamma, και stable/gamma. Εξετάζουμε το ευρέως χρησιμοποιούμενο normal/exponential υπόδειγμα, αλλά και το υπόδειγμα normal/gamma με γνωστή παράμετρο λοξότητας (shape parameter) της gamma. Οι προτεινόμενοι έλεγχοι αποδεικνύεται ότι είναι συνεπής και υπολογιστικά εύχρηστοι. Επίσης, συγκρινόμενοι σε πεπερασμένα δείγματα με τα κλασικά GoF tests Kolmogorov-Smirnov και Cramer-von Mises, επιδεικνύουν βελτιωμένα αποτελέσματα σε ότι αφορά στην δύναμη του ελέγχου.Ακολούθως, εξετάζουμε τις πιο σύνθετες - σε όρους συνάρτησης κατανομής - περιπτώσεις, εκείνες των υποδειγμάτων normal/gamma, με άγνωστες τις παραμέτρους της gamma, και stable/gamma. Παρά την πολύπλοκη συναρτησιακή τους μορφή, οι προτεινόμενοι έλεγχοι είναι υπολογιστικά αποδοτικοί καθώς δεν περιλαμβλάνουν αριθμιτική ολοκλήρωση, καθιστώντας τους πιο εύχρηστους στην εφαρμογή σε σύγκριση με τους ελέγχους οι οποίοι βασίζονται στις συναρτήσεις κατανομής. Ο προτεινόμενος έλεγχος για το normal/gamma υπόδειγμα είναι συνεπής και σχετίζεται με ελέγχους οι οποίοι βασίζονται στις ροπές, ενώ ο προτεινόμενος έλεγχος για το stable/gamma υπόδειγμα παρέχει μια μέθοδο η οποία επιτρέπει να διακρίνουμε μεταξύ ενός medium–tailed normal/gamma και ενός purely heavy–tailed stable/gamma SFM. Η εφαρμογή των μεθόδων μας σε πραγματικά δεδομένα διερευνά κυρίως την ύπαρξη “βαριών ουρών” (heavy tails) στην εμπειρική μοντελοποίηση της παραγωγής, όπου τα αποτελέσματά μας οδηγούν σε μη-απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης ενός normal/gamma SFM υποδείγματος.Συνοψίζοντας, η προσέγγισή μας παρέχει σημαντικές προόδους προτείνοντας νέους στατιστικούς ελέγχους στο πλαίσιο των SFMs.