Asymptotic and computational mathematical and electromagnetic (EM) methods for the solution of the Sommerfeld radiation problem

Abstract

The subject of this Dissertation is the study of Asymptotic and Numerical Mathematical Methods for the solution of the well-known Sommerfeld radiation problem (Vertical Hertzian Dipole above Flat Lossy Ground). We propose the use of the generalized solutions of Maxwell equations method, for solving the problem, through which we easily obtain the integral representation for the Electromagnetic (EM) field, in terms of the Sommerfeld Integrals (SI).We also examine the well-known asymptotic techniques of Stationary Phase Method (SPM) and the method of Steepest Descent (SDP) that have been extensively used and proved very useful for the study of various EM scattering problems. Application on the aforementioned Sommerfeld problem yields the geometric optics field, known as space wave. Then, we focus on the numerical evaluation of the SI. This is not a trivial task, though, since singularities within the integration path exist, as well as the limits of integration are extended upto +/- infinity. Moreover, the integrands include special functions, enrolling an unbounded and highly oscillating behavior. The combined effect of all of the above severely affects the accuracy of well-known traditional numerical integration (NI) techniques, and for this reason various mathematical methods and specialized integration algorithms have been proposed in the respective literature. However, with our proposed mathematical handling and some very simple variable transformations, we are able to get fast converging integrals; the singularities are removed and the integrands are expressed in terms of bounded functions that also expose a fast, exponentially decaying behavior. As a result, the use of a common NI technique (e.g. Trapezoidal, Adaptive Simpsons) may yield very accurate and timely results. Finally, we return to our asymptotic analysis and propose a modified SDP method that makes use of an ''Etalon Integral'' function, with known properties and behavior. With proper handling of the Etalon Integral, and with the aid of the error function and Fresnel integrals, we are able to reach to interesting closed-form expressions, which are more accurate, compared to the standard SPM/SDP counterparts, and also better describe the propagation mechanism for certain, though usual, scenarios. Evaluation of the various asymptotic formulas were possible by comparison against the accurate NI of the SI, using our above-mentioned numerical method. The dissertation closes, with a recap of the major findings, their significance and limitations, as well as a clear statement regarding the existence and characteristics of the controversial ''Surface Wave''. The latter was possible through a thorough review of the respective literature, which is also a central part of this research.

Αντικείμενο της διατριβής είναι η μελέτη ασυμπτωτικών και αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση του προβλήματος ακτινοβολίας Sommerfeld (κατακόρυφο δίπολο υπεράνω γης). Αρχικά, προτείνεται η χρήση της μεθόδου των γενικευμένων λύσεων των εξισώσεων Maxwell, χάρη στην οποία προκύπτουν σχετικά εύκολα οι εκφράσεις του Ηλεκτρομαγνητικού (ΗΜ) πεδίου, με την μορφή των γνωστών ολοκληρωμάτων Sommerfeld (SI). Εν συνεχεία, εξετάζονται οι ασυμπτωτικές μέθοδοι στάσιμης φάσης (Stationary Phase Method, SPM) και απότομης κατάβασης (Saddle Point Method, SDP), οι οποίες έχουν χρησιμοποιηθεί πολλάκις στην βιβλιογραφία για τη μελέτη διάφορων προβλημάτων ΗΜ σκέδασης. Εφαρμόζοντας τις μεθόδους αυτές στο πρόβλημα του Sommerfeld καταλήγουμε στις εκφράσεις γεωμετρικής οπτικής για το ΗΜ πεδίο, δηλαδή στο κύμα χώρου. Έπειτα, εστιάζουμε στον αριθμητικό υπολογισμό των ολοκληρωμάτων Sommerfeld, εργασία μη τετριμμένη, ένεκα της ιδιάζουσας συμπεριφοράς των SI (έντονη ταλάντωση της υπό ολοκλήρωση συνάρτησης, παρουσία ανώμαλων σημείων, άπειρα όρια ολοκλήρωσης), γεγονός που καθιστά τους κλασικούς αλγορίθμους ολοκλήρωσης αναποτελεσματικούς. Εντούτοις, με κατάλληλο μαθηματικό χειρισμό και την εφαρμογή μερικών πολύ απλών αλλαγών μεταβλητής, επιτυγχάνουμε την απομάκρυνση όλων των ανωμαλιών και την εξαγωγή ολοκληρωτικών εκφράσεων που συγκλίνουν ταχύτητα με την μεταβλητή ολοκλήρωσης. Έτσι, καθίσταται πλέον εφικτή η χρήση τυπικών τεχνικών αριθμητικής ολοκλήρωσης (π.χ. μέθοδος τραπεζίου, μέθοδος Simpsons), χάρη στις οποίες, πράγματι, το ΗΜ πεδίο μπορεί να υπολογιστεί με εξαιρετική ακρίβεια και σε ικανοποιητικό χρόνο.Τέλος, επιστρέφουμε στην ασυμπτωτική ανάλυση του προβλήματος και προτείνουμε μια τροποποιημένη SDP μέθοδο, η οποία κάνει χρήση ενός πρότυπου ολοκληρώματος (''Etalon Integral'') με γνωστές ιδιότητες και χαρακτηριστικά. Με κατάλληλο χειρισμό του Etalon Integral και την βοήθεια των συναρτήσεων σφάλματος και των ολοκληρωμάτων Fresnel καταλήγουμε σε ενδιαφέρουσες εκφράσεις κλειστής μορφής, που προσεγγίζουν με μεγαλύτερη ακρίβεια το πεδίο, σε σχέση με τις τυπικές SPM/SDP μεθόδους, ενώ ταυτόχρονα περιγράφουν και τον μηχανισμό διάδοσης, υπό ορισμένες συνθήκες ζεύξης. Η σύγκριση των διαφόρων ασυμπτωτικών μορφών γίνεται με σημείο αναφοράς τις τιμές του πεδίου που λαμβάνονται με την ακριβή NI μέθοδο, στην οποία αναφερθήκαμε ανωτέρω. Η διατριβή κλείνει με επισκόπηση των βασικότερων ευρημάτων και έναν σύντομο σχολιασμό για την αξία, τους περιορισμούς τους, καθώς και δυνητικές μελλοντικές επεκτάσεις. Επιπρόσθετα, τοποθετούμαστε αναφορικά με το διφορούμενο ζήτημα της ύπαρξης του κύματος επιφανείας, ως αποτέλεσμα της ενδελεχούς ανάλυσης της σχετικής βιβλιογραφίας, η οποία, επίσης, αποτελεί βασικό αντικείμενο της παρούσης.