Restrictions on isometric immersions in spaces of constant curvature

Abstract

The aim of the thesis is to study isometric immersions under certain geometric conditions, like having constant mean curvature, relative nullity or being minimal. Initially, we investigate geometric conditions for isometric immersions with positive index of relative nullity to be cylinders. There is an abundance of noncylindrical ndimensional minimal submanifolds with index of relative nullity n−2, fully described by Dajczer and Florit in terms of a certain class of elliptic surfaces. Opposed to this, we prove that nonminimal n-dimensional submanifolds in space forms of any codimension are locally cylinders provided that they carry a totally geodesic distribution of rank n−2 ≥ 2, which is contained in the relative nullity distribution, such that the length of the mean curvature vector field is constant along each leaf. The case of dimension n = 3 turns out to be special. We show that there exist elliptic three-dimensional submanifolds in spheres satisfying the above properties. In fact, we provide a parametrization of three-dimensional submanifolds as unit tangent bundles of minimal surfaces in the Euclidean space whose first curvature ellipse is now here a circle and their second one is everywhere a circle. Moreover, we provide several applications to submanifolds whose mean curvature vector field has constant length, a much weaker condition than being parallel. Next, we turn our attention to n-dimensional minimal k-umbilic submanifolds in the Euclidean space. We establish the relationship between minimal (n − 2)-umbilic submanifolds and (n−2)-singular minimal surfaces. We show that minimal, generic (n − 2)-umbilic submanifolds, n ≥ 4, are (n − 2)-rotational submanifolds whose profile constitutes the critical points of its ”energy potential” for any variation, namely the (n−2)-singular minimal surfaces. In other words, surfaces with minimal potential energy under gravitational forces. Additionally, we develop a method of local parametrization of all (n − 2)-singular minimal surfaces, which in turn, allows us to parametrically describe all n-dimensional, n ≥ 4, minimal hypersurfaces of the Euclidean space with a nowhere vanishing principal curvature of multiplicity n − 2.Finally, we provide a classification of flat ruled (n−2)-singular minimal surfaces and discus the existence of complete (n − 2)-singular minimal surfaces.

Ο σκοπός αυτής της διατριβής είναι η μελέτη ισομετρικών εμβαπτίσεων υπό ορισμένες γεωμετρικές συνθήκες, όπως να έχουν σταθερή μέση καμπυλότητα, σχετική μηδενοκατανομή ή να είναι ελαχιστικές. Αρχικά, διερευνούμε γεωμετρικές συνθήκες γιαισομετρικές εμβαπτίσεις με θετικό δείκτη σχετικής μηδενοκατανομής έτσι ώστε να είναι κύλινδροι. Υπάρχει πληθώρα μη κυλινδρικών n-διάστατων ελαχιστικών υποπολυπτυγμάτων με δείκτη μηδενοκατανομής n − 2, τα οποία έχουν περιγραφεί πλήρως από τους Dajczer και Florit υπεράνω μιας συγκεκριμένης κλάσης ελλειπτικών επιφανειών. Αντιθέτως, αποδεικνύουμε ότι μη ελαχιστικά n-διάστατα υποπολυπτύγματα σε χώρους μορφής, οποιασδήποτε συνδιάστασης, είναι τοπικά κύλινδροι, υπό την προϋπόθεση ότι φέρουν μια ολικά γεωδαισιακή κατανομή βαθμίδας n − 2 ≥ 2, η οποία περιέχεται στη σχετική μηδενοκατανομή, και το μήκος του διανυσματικού πεδίου μέσης καμπυλότητας είναι σταθερό κατά μήκος κάθε φύλλου. Η περίπτωση διάστασης n = 3 αποδεικνύεται ότι είναι ιδιαίτερη. Δείχνουμε ότι υπάρχουν τριδιάστατα ελλειπτικά υποπολυπτύγματα σε σφαίρες που ικανοποιούν τις παραπάνω ιδιότητες. Στην πραγματικότητα, παρέχουμε μια παραμετροποίηση όλων των τρισδιάστατων υποπολυπτυγμάτων ως μοναδιαίες εφαπτόμενες δέσμες ελαχιστικών επιφανειών στον Ευκλείδειο χώρο, των οποίων η πρώτη έλλειψη καμπυλότητας δεν είναι ποτέ κύκλος, ενώ η δεύτερη είναι παντού κύκλος. Επιπλέον, παρέχουμε αρκετές εφαρμογές για υποπολυπτύγματα των οποίων το διανυσματικό πεδίο μέσης καμπυλότητας έχει σταθερό μήκος, μια πολύ πιο ασθενής συνθήκη από το να είναι παράλληλο. Στη συνέχεια, στρέφουμε την προσοχή μας σε n-διάστατα ελαχιστικά k-ομφαλικά υποπολυπτύγματα του Ευκλειδείου χώρου. Αποδεικνύουμε τη σχέση μεταξύ ελαχιστικών (n − 2)-ομφαλικών υποπολυπτυγμάτων και (n − 2)-ιδιαζουσών ελαχιστικών επιφανειών. Δείχνουμε ότι ελαχιστικά, generic (n−2)-ομφαλικά υποπολυπτύγματα, n ≥ 4,είναι (n − 2)-εκ περιστοφής υποπολυπτύγματα, των οποίων το προφίλ αποτελεί τα κρίσιμα σημεία του συναρτησοειδούς του δυναμικού ενέργειας, τις (n − 2)-ιδιάζουσες ελαχιστικές επιφάνειες. Με άλλα λόγια, οι επιφάνειες αυτές έχουν την ιδιότητα να ελαχιστοποιούν το δυναμικό ενέργειάς τους υπό τη δράση βαρυντικών δυνάμεων. Επιπλέον, αναπτύσσουμε μια μέθοδο παραμέτρησης, τοπικά, όλων των (n − 2)-ιδιάζουσων επιφανειών, η οποία με τη σειρά της, μας επιτρέπει να ταξινομήσουμε όλες τις n-διάστατες, n ≥ 4, ελαχιστικές υπερεπιφάνειες του Ευκλειδείου χώρου με μια μη μηδενική κύρια καμπυλότητα πολλαπλότητας n − 2. Τέλος, παρέχουμε μια ταξινόμησητων ισόπεδων ευθειογενών (n − 2)-ιδιάζουσων ελαχιστικών επιφανειών και ερευνούμετην ύπαρξη πλήρων (n − 2)-ιδιάζουσων ελαχιστικών επιφανειών