Αναλυτική και αριθμητική μελέτη στην δυναμική πολλαπλών παραμορφώσιμων σωμάτων

Abstract

Mechanics, in general, is one of the oldest and most applicable disciplines among the other branches of Physics and Engineering. It is therefore essential that reliable methodologies as well as robust numerical schemes exist so that analyses of the behavior and possibly the optimization of the mechanical systems, which may vary from small parts in machines to buildings and bridges, may be accurately computed. The main mathematical tool that is used widely in the formulation of constrained mechanical systems is the Differential Algebraic Equations (D.A.E.). Due to their inherent nature, D.A.E. are stiff, leading to instabilities when treated numerically. These instabilities which may be small at first, are increasing in time, leading eventually to a completely different behavior for the examined mechanical system. First of all, the equations of motion of a single flexible body are introduced. To achieve this goal, the kinematics of the flexible body is described in the usual way. This introduces a mapping in terms of the velocities between the Euclidean space which is described by the Cartesian coordinates and a manifold where the spatial kinematics of a rigid body takes place followed by a local deformation. The conditions for transferring the metric, i.e., the mass and the affinities, i.e., the quadratic terms of the velocity, are fully derived so that Newton's law retains its form in both manifolds. Additionally, the independent computation of the mass matrix is extracted in terms of its invariants and a small example concerning a 2D rod with point masses is given so as to illustrate the new concepts and set the example for a more complex case, for instance, a beam in 3D space. Mechanical systems are comprised of bodies which are linked through joints, thus giving rise to constraints. In order to alleviate the aforementioned D.A.E. problems, the Machine Dynamics Laboratory's novel geometrically consistent approach is used, resulting in a system of ordinary differential equations where the unknowns include the generalized coordinates as well as the Lagrange multipliers. The latter are also being treated as coordinates in this context. Both holonomic and nonholonomic constraints are treated, but emphasis is placed on the four fundamental constraints, namely, Atpoint, Inplane, Perpendicular and Angular which when appropriately combined furnish a plethora of the lower-pair joints. For each of the aforementioned cases the equations of the constraints and the related Jacobian matrix are analytically computed. In order to yield results, a numerical scheme is proposed. The equations of motion along with the constraint equations are discretized in time and Newmark's method is employed. An implicit scheme is derived in either accelerations or displacements that iterates the increments in between time steps so that the desirable convergence is achieved. As a special case, the linear oscillator is examined. The eigenproblem is treated analytically furnishing important results such as the existence of finite, repeated eigenfrequencies for the constraints. Moreover, a scheme for computing the generalized eigenvectors in the context of the Jordan Canonical Form was created in order to compute the solution in an analytic manner. Numerical examples of a four d.o.f. linear oscillator as well as a Duffing oscillator with two constraints are given as a means to validate the theory developed and for comparison with the results obtained from the D.A.E. index 1 & 3 formulations.

Η Μηχανική είναι ένας από τους παλαιότερους και πιο αναπτυγμένους κλάδους με πλείστες εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Ως εκ τούτου, είναι απολύτως απαραίτητο να υφίσταται αφενός ένα αυστηρά θεμελιωμένο θεωρητικό υπόβαθρο και αφετέρου να προκύπτουν αξιόπιστα αριθμητικά σχήματα, ώστε να μπορεί να προσδιορίζεται με αξιοπιστία η συμπεριφορά των κατασκευών καθώς και η βελτιστοποίησή τους σε όλες τις κλίμακες, ήτοι, από εξαρτήματα στις μηχανολογικές εγκαταστάσεις έως τα κτήρια και τις γέφυρες. Το κύριο μαθηματικό εργαλείο που χρησιμοποιείται ευρέως στη διατύπωση των εξισώσεων που διέπουν την κίνηση των μηχανικών συστημάτων με περιορισμούς είναι οι Διαφορικές Αλγεβρικές Εξισώσεις (Δ.Α.Ε.). Λόγω της εγγενούς τους φύσης, οι Δ.Α.Ε. είναι ιδιάζοντα συστήματα, γεγονός που οδηγεί σε αστάθειες κατά την αριθμητική επίλυση. Οι εν λόγω αστάθειες μπορεί αρχικά να φαίνονται αμελητέες, αυξάνονται ωστόσο με την πάροδο του χρόνου, οδηγώντας τελικά σε μια εντελώς αλλοιωμένη εικόνα για την συμπεριφορά του υπό εξέταση μηχανικού συστήματος. Πρωτίστως εξάγονται με γεωμετρική συνέπεια οι εξισώσεις κίνησης ενός παραμορφώσιμου σώματος. Αρχικά διατυπώνεται η κινηματική του παραμορφώσιμου σώματος. Στην κατεύθυνση αυτή εισάγεται μία απεικόνιση (mapping) μεταξύ ενός Ευκλείδειου τριδιάστατου χώρου με Καρτεσιανές συντεταγμένες και μίας καινούργιας πολλαπλότητας στην οποία η κίνηση εξελίσσεται ως υπέρθεση μιας γενικής χωρικής κίνησης ενός απολύτως στερεού σώματος ακολουθούμενη από την τοπική παραμόρφωση. Μέσω της απεικόνισης, οι συνθήκες για τη μεταφορά της μετρικής, ήτοι, της μάζας και των συνδέσεων, ήτοι, των τετραγωνικών όρων της ταχύτητας, προσδιορίζονται πλήρως ώστε ο νόμος του Νεύτωνα να διατηρεί τη μορφή του και στις δύο πολλαπλότητες. Επιπρόσθετα, εξάγεται το μητρώο μάζας του παραμορφώσιμου σώματος και υπολογίζονται οι προκύπτουσες αναλλοίωτες ενώ δίνεται ένα μικρό παράδειγμα εφαρμογής μίας δισδιάστατης ράβδου με σημειακές μάζες ώστε να καταστεί εμφανές το αναπτυχθέν σκεπτικό αλλά και να προκύψει η διαδικασία μέσω της οποίας επεκτείνεται η εφαρμογή σε πιο σύνθετα σώματα όπως για παράδειγμα μιας τριδιάστατης δοκού. Τα σύνθετα μηχανικά συστήματα αποτελούνται από σώματα που συνδέονται κατάλληλα μεταξύ τους. Η ύπαρξη των συνδέσμων οδηγεί στην εμφάνιση δεσμών κίνησης. Προκειμένου να εξαλειφθούν τα ζητήματα που προκύπτουν από την χρήση των Δ.Α.Ε., χρησιμοποιείται η ρηξικέλευθη, γεωμετρικά συνεπής μέθοδος που αναπτύχθηκε στο Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών, η οποία οδηγεί σε ένα σύστημα κανονικών διαφορικών εξισώσεων με αγνώστους τις γενικευμένες συντεταγμένες καθώς και τους πολλαπλασιαστές του Lagrange. Οι τελευταίοι αντιμετωπίζονται ως γενικευμένες συντεταγμένες. Η διατύπωση αντιμετωπίζει τόσο την περίπτωση των ολόνομων όσο και αυτή των ανολόνομων περιορισμών. Ωστόσο, η έμφαση δίνεται στους τέσσερις θεμελιώδεις περιορισμούς, ήτοι, στον Σφαιρικό, τον Επίπεδο, τον Κάθετο και τον Γωνιακό, οι οποίοι όταν συνδυάζονται κατάλληλα παρέχουν μια πληθώρα συνδέσεων που απαντώνται στις εφαρμογές του Μηχανικού. Για κάθε μία από τις προαναφερθείσες περιπτώσεις υπολογίζονται αναλυτικά οι εξισώσεις των περιορισμών και ο αντίστοιχος Ιακωβιανός πίνακας. Προκειμένου να προκύψουν αποτελέσματα, προτείνεται ένα σχήμα αριθμητικής ολοκλήρωσης. Οι εξισώσεις κίνησης μαζί με τις εξισώσεις των περιορισμών διακριτοποιούνται χρονικά και χρησιμοποιείται η μέθοδος του Newmark. Προκύπτει επομένως ένα έμμεσο (implicit) θαμιστικό σχήμα είτε σε επίπεδο επιταχύνσεων είτε στο αντίστοιχο των μετατοπίσεων όπου οι μεταβολές των μεγεθών τροποποιούνται επαναληπτικά μεταξύ των χρονικών βημάτων έως ότου να επιτευχθεί η επιθυμητή σύγκλιση. Ως ειδική περίπτωση εξετάζεται ο γραμμικός ταλαντωτής. Το ιδιοπρόβλημα αντιμετωπίζεται αναλυτικά αναδεικνύοντας σημαντικά αποτελέσματα όπως η ύπαρξη πεπερασμένων, επαναλαμβανόμενων ιδιοσυχνοτήτων για την περίπτωση των περιορισμών. Επιπλέον, εφαρμόστηκε ένα σχήμα για τον υπολογισμό των γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων με στόχο τον αναλυτικό υπολογισμό της απόκρισης μέσω της Κανονικής Μορφής του Jordan. Για την τεκμηρίωση της μεθοδολογίας αλλά και τη σύγκριση με τις μεθόδους Δ.Α.Ε. με δείκτη 1 & 3 επιλύθηκε ένας τετραβάθμιος γραμμικός ταλαντωτής με δύο δεσμούς κίνησης καθώς και ένας μη γραμμικός τύπου Duffing.