Διαισθητικές αντιλήψεις μαθητών πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης για την έννοια του απείρου

Abstract

The concept of infinity permeates various scientific fields, including Mathematics, Physics, and Philosophy, and has been a subject of systematic study for centuries. The real world as we know it is finite and therefore there is no reason to discuss the infinity. The concept of infinity is contradictory, as it confronts our cognitive schemas that have been adapted to a finite world.Despite the frequent reference of the concept of infinity in the mathematical textbooks, it is rarely studied extensively as it is often avoided or obscured while teaching. As a result, a right intuitive approach to the concept could help not only in a better understanding but also in achieving the learning objectives set for the teaching of mathematics at school.This thesis examines the intuitive perceptions of elementary and secondary school students regarding the concept of infinity. Specifically, it attempts to identify the prevailing perceptions that students form about the concept of infinity, to explore the factors that shape them and to identify the differentiations that arise at different stages of school education.The present study is combining quantitative and qualitative research. The quantitative data were collected from the written responses of 377 students (124 6th graders, 154 9th graders, 99 12th graders) to a questionnaire. In addition, 39 individual interviews were conducted (17 6th graders, 16 9th graders, 6 12th graders). Data analysis was conducted using both quantitative and qualitative methods. Initially, the quantitative data were categorized and analyzed, a procedure which highlighted the basic perceptions of infinity in the three educational levels studied. Afterwards, through the analysis of the interviews, their origin was investigated. The results revealed that the perceptions about infinity can be categorized into four main categories. The first two are connected to the potential and active infinity. These are the procedural perception, in which infinity is viewed as an endless procedure and the actual perception, in which infinity is considered to be something completed such as the set of all numbers. The third perception is the finite one, according to which, students consider infinity to be something very large but finite. The fourth perception considers infinity to be something indefinite.Furthermore, from the study emerged that the origin of perceptions of infinity is complex and highly influenced by education, everyday experiences, and the socio-cultural environment. The use of the word "infinity" in everyday language differs from its mathematical concept, a fact that creates difficulties in understanding it.Based on the analysis of students' perceptions and performances on infinity-related topics in the three grades studied, no statistically significant differences were found in the above perceptions. This observation suggests that the development of school mathematical knowledge does not seem to significantly affect perceptions about infinity.The study concludes that teaching the concept of infinity requires attention and flexibility and the diverse perceptions of students must be carefully considered. Utilizing different learning strategies, engaging with infinity-related topics and educators' awareness of the basic perceptions and common misconceptions that students exhibit, can contribute to the creation of correct intuitions about infinity in school mathematics education.

Η έννοια του άπειρου υπεισέρχεται σε πολλές επιστήμες όπως τα Μαθηματικά, η Φυσική, η Φιλοσοφία κ.ά. και αποτελεί αντικείμενο συστηματικής μελέτης μέσα στους χρόνους. Ο πραγματικός κόσμος, είναι πεπερασμένος, με αποτέλεσμα να μην υπάρχουν αφορμές για συζητήσεις σχετικά με το άπειρο. Μάλιστα, πολλές φορές δημιουργούνται αντιφάσεις από τη σύγκρουση μεταξύ της έννοιας του απείρου και των νοητικών σχημάτων που έχουν διαμορφωθεί στη σκέψη μας μέσω της εμπειρίας μας σε έναν πεπερασμένο κόσμο.Παρά τη συχνή αναφορά στα σχολικά βιβλία, σπανίως μελετάται εκτενώς καθώς συχνά αποφεύγεται κατά τη διδασκαλία. Ως εκ τούτου, η σωστή διαισθητική προσέγγιση της έννοιας, θα μπορούσε να βοηθήσει όχι μόνο στην καλύτερη κατανόησή της, αλλά και στην επίτευξη των μαθησιακών στόχων που έχουν τεθεί στη διδασκαλία των μαθηματικών στα σχολεία. Στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής, εξετάζονται οι διαισθητικές αντιλήψεις των μαθητών στην πρωτοβάθμια και δευτεροβάθμια εκπαίδευση σχετικά με την έννοια του απείρου. Συγκεκριμένα γίνεται προσπάθεια να εντοπιστούν οι κυρίαρχες αντιλήψεις που διαμορφώνουν οι μαθητές για την έννοια του απείρου, να διερευνηθούν οι παράγοντες που τις διαμορφώνουν και να εντοπιστούν οι διαφοροποιήσεις που προκύπτουν στα διάφορα στάδια της σχολικής εκπαίδευσης. Η μελέτη είναι συνδυασμός ποσοτικής και ποιοτικής έρευνας. Τα ποσοτικά δεδομένα προέρχονται από τις γραπτές απαντήσεις 377 μαθητών σε ένα ερωτηματολόγιο που τους δόθηκε και συγκεκριμένα 124 μαθητών της ΣΤ΄ Δημοτικού, 154 της Γ΄ Γυμνασίου και 99 μαθητών της Γ΄ Λυκείου. Επιπλέον έγιναν 39 συνεντεύξεις, συγκεκριμένα σε 17 μαθητές της ΣΤ΄ Δημοτικού, σε 16 μαθητές της Γ΄ Γυμνασίου και σε 6 μαθητές τη Γ΄ Λυκείου. Η ανάλυση των δεδομένων έγινε με συνδυασμό ποσοτικών και ποιοτικών μεθόδων. Αρχικά κατηγοριοποιήθηκαν και αναλύθηκαν τα ποσοτικά δεδομένα από τα οποία προέκυψαν οι βασικές αντιλήψεις για το άπειρο στις τρεις εκπαιδευτικές βαθμίδες που μελετήσαμε. Έπειτα, μέσα από την ανάλυση των συνεντεύξεων διερευνήθηκε η προέλευση αυτών.Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι αντιλήψεις αυτές κατηγοριοποιούνται σε τέσσερις βασικές κατηγορίες. Οι δύο πρώτες συνδέονται με το δυνητικό και ενεργό άπειρο. Αυτές είναι η «διαδικαστική αντίληψη» στην οποία το άπειρο αντιμετωπίζεται ως μία διαδικασία χωρίς τέλος και η «πραγματική αντίληψη», στην οποία το άπειρο θεωρείται ως κάτι ολοκληρωμένο, π.χ. το σύνολο όλων των αριθμών. Η τρίτη αντίληψη είναι η «πεπερασμένη αντίληψη», σύμφωνα με την οποία οι μαθητές θεωρούν το άπειρο ως κάτι μεγάλο, αλλά πεπερασμένο. Η τέταρτη αντίληψη θεωρεί το άπειρο ως κάτι «απροσδιόριστο». Επιπλέον, από τη μελέτη προέκυψε ότι η προέλευση των αντιλήψεων για το άπειρο είναι πολυσύνθετη, επηρεασμένη από την εκπαίδευση, τις καθημερινές εμπειρίες και το κοινωνικό και πολιτιστικό περιβάλλον. Η χρήση της λέξης «άπειρο» στην καθημερινή γλώσσα συχνά διαφέρει από τη μαθηματική έννοια, δημιουργώντας δυσκολίες στην κατανόησή της.Με βάση την ανάλυση των αντιλήψεων των μαθητών σε θέματα σχετικά με το άπειρο στις τρεις τάξεις που μελετήθηκαν, διαπιστώθηκε η απουσία στατιστικά σημαντικών διαφορών σε αυτές. Η εν λόγω παρατήρηση υποδηλώνει ότι η ανάπτυξη της σχολικής μαθηματικής γνώσης δεν φαίνεται να επηρεάζει ουσιαστικά τις αντιλήψεις για το άπειρο. Η μελέτη καταλήγει στο συμπέρασμα ότι η διδασκαλία του απείρου απαιτεί προσοχή και ευελιξία, λαμβάνοντας υπόψη τις ποικίλες αντιλήψεις των μαθητών. Η αξιοποίηση διαφορετικών μαθησιακών στρατηγικών, η εμπλοκή με θέματα που αφορούν το άπειρο, και η επίγνωση από τους εκπαιδευτικούς των βασικών αντιλήψεων και των συχνών μαθηματικών σφαλμάτων που εμφανίζουν οι μαθητές, μπορεί να συμβάλλει στην δημιουργία σωστών διαισθητικών αντιλήψεων για το άπειρο στην σχολική μαθηματική εκπαίδευση.