Διερεύνηση, επέκταση και εφαρμογή της Οιονεί Συνεκτικής θεωρίας για τη δημιουργία φασματικών κυματικών μοντέλων

Abstract

Recently, a new theory for the stochastic interpretation of ocean waves has been proposed. This theory generalizes the classical approach to the spectral representation of wave fields. In addition to describing the evolution wave energy content, as characterized by the wave spectrum, it also accounts for the coherence of the wave field and the rapid changes in waves caused by variations in the propagation medium, which manifest in the field as wave interferences. The transport equation for the classical wave spectrum is replaced by a more general transport equation. This new equation describes the evolution of the Coupled-Mode Spectrum, which generalizes the classical wave spectrum, incorporates information about wave interferences, and, from a mathematical perspective, represents the Wigner-Weyl distribution of the correlation function of the sea's free surface. The new transport equation and the Coupled-Mode Spectrum revert to the classical transport equation and wave spectrum when the conditions in the field approach those of the open sea, rendering coherent wave interferences caused by variations in the propagation medium negligible. The general transport equation has a complex form and includes pseudodifferential operators, making it unsuitable for direct application in its original form. To address this, approximations tailored to the prevailing conditions in the wave field are developed. These approximations derive from the Nth-order Quasi-Coherent approximation of the general transport equation, which also gives the new theory its name. Concurrently, the Quasi-Coherent theory represents a first application of the Wigner-Weyl formalism to ocean wave problems. In this doctoral dissertation, the new theory is investigated, while efforts are made to extend and deepen its foundations. A spectral wave model implementing the theory is proposed and utilized to test its validity, as well as specific aspects related to the application of such a spectral wave model. Certain measures for improving the computational efficiency of a Quasi-Coherent spectral wave model, within the framework established by the new theory and related literature, are proposed. Different versions of the first-order Quasi-Coherent approximation of the general transport equation, as presented in existing publications, are evaluated and compared, and a new version is proposed. Through this process of comparison and evaluation, it is demonstrated that the different versions are not entirely equivalent, thereby preempting potential misunderstandings and providing an analysis absent from the existing literature. The tools offered by the new theory are utilized in this analysis to explain the differences between the various versions, clarify aspects related to their application, and ultimately enhance the Quasi-Coherent theory itself.

Πρόσφατα προτάθηκε μια νέα θεωρία για την στοχαστική θεώρηση των θαλάσσιων κυμάτων. Αυτή γενικεύει την κλασική θεωρία για την φασματική αναπαράσταση των κυματικών πεδίων. Εκτός από την εξέλιξη και τις μεταβολές του ενεργειακού περιεχομένου των κυμάτων, που περιγράφεται από το κυματικό φάσμα, λαμβάνει υπόψη τη συνοχή του κυματικού πεδίου, τις ραγδαίες μεταβολές των κυμάτων εξαιτίας των μεταβολών του μέσου διάδοσης, που στο πεδίο εμφανίζονται ως κυματικές συμβολές. Η εξίσωση μεταφοράς του κλασικού κυματικού φάσματος αντικαθίσταται από μια πιο γενική εξίσωση μεταφοράς. Αυτή περιγράφει την εξέλιξη του κυματικού φάσματος Συζευγμένης Κατάστασης, που αποτελεί επίσης γενίκευση του κλασικού κυματικού φάσματος, περιέχει την πληροφορία των κυματικών συμβολών και από μαθηματική σκοπιά αποτελεί την κατανομή Wigner-Weyl της συνάρτησης συσχέτισης της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας. Η νέα εξίσωση μεταφοράς και το φάσμα Συζευγμένης Κατάστασης μεταπίπτουν στην κλασική εξίσωση μεταφοράς και το κλασικό κυματικό φάσμα, όταν οι συνθήκες που επικρατούν στο πεδίο τείνουν σε αυτές της ανοικτής θάλασσας, καθιστώντας αμελητέες τις συνεκτικές κυματικές συμβολές που προκαλούνται από τις μεταβολές του μέσου διάδοσης. Η γενική εξίσωση μεταφοράς έχει πεπλεγμένη μορφή και περιέχει ψευδοδιαφορικούς τελεστές, με αποτέλεσμα να μην μπορεί να εφαρμοστεί απευθείας για υπολογισμούς στην αρχική της μορφή. Για αυτό το σκοπό παράγονται προσεγγίσεις, που αντιστοιχούν στις συνθήκες που επικρατούν στο κυματικό πεδίο. Αυτές προκύπτουν από την Ν-τάξης Οιονεί Συνεκτική προσέγγιση της γενικής εξίσωσης μεταφοράς, στην οποία οφείλεται και η ονομασία της νέας θεωρίας. Ταυτόχρονα, η Οιονεί Συνεκτική θεωρία αποτελεί και μια πρώτη εφαρμογή του φορμαλισμού Wigner-Weyl για προβλήματα της κυματικής των θαλάσσιων κυμάτων. Στην παρούσα διδακτορική διατριβή λαμβάνει χώρα μια διερεύνηση της νέας θεωρίας και ταυτόχρονα γίνεται μια προσπάθεια για την επέκταση και εμβάθυνσή της. Στα πλαίσιά της προτείνεται ένα φασματικό κυματικό μοντέλο που την εφαρμόζει και αξιοποιείται για να ελέγξει την ισχύ της, αλλά και επιμέρους πλευρές που σχετίζονται με την εφαρμογή ενός τέτοιου φασματικού κυματικού μοντέλου. Προτείνονται ορισμένα μέτρα για την υπολογιστικά αποδοτικότερη εφαρμογή ενός Οιονεί Συνεκτικού φασματικού κυματικού μοντέλου, μέσα στα πλαίσια που ορίζει η νέα θεωρία και η σχετική βιβλιογραφία. Αξιολογούνται και συγκρίνονται οι διαφορετικές εκδοχές της 1ης τάξης Οιονεί Συνεκτικής προσέγγισης της γενικής εξίσωσης μεταφοράς, όπως έχουν παρουσιαστεί στις υφιστάμενες δημοσιεύσεις, ενώ προτείνεται και μια καινούρια. Σε αυτή τη διαδικασία σύγκρισης και αξιολόγησης, αποδεικνύεται πως οι διαφορετικές εκδοχές δεν είναι απόλυτα ισοδύναμες, προλαμβάνοντας την πιθανότητα πρόκλησης μιας τέτοιας παρανόησης και προσθέτοντας μια ανάλυση που απουσιάζει από τη μέχρι τώρα δημοσιευμένη βιβλιογραφία. Για την πραγματοποίησή της χρησιμοποιούνται τα μέσα που προσφέρει η νέα θεωρία, έτσι ώστε να εξηγηθούν οι διαφορές των διαφορετικών εκδοχών, να αποσαφηνιστούν πλευρές που αφορούν την εφαρμογή τους και να ενισχυθεί τελικά η ίδια η Οιονεί Συνεκτική θεωρία.