Large data problems in fluid dynamics and general relativity

Abstract

In this thesis we contribute to the study of two large data problems within the realm of Hyperbolic Partial Differential Equations. The first result concerns the Relativistic Euler equations, which adequately describe fluid motion in the context of special relativity. We provide a necessary and sufficient criterion for the formation of singularities in the (1+1)-dimensional case for continuously differentiable initial data. Secondly, we establish a formation of trapped surfaces criterion for the Einstein-Maxwell system, in the context of the General theory of Relativity. This is the first scale-critical result in the presence of matter.

Σε αυτήν την διατριβή συνεισφέρουμε στη μελέτη δύο προβλημάτων μεγάλων δεδομένων εντός του κλάδου των Υπερβολικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων. Το πρώτο αποτέλεσμα αφορά τις Σχετικιστικές Εξισώσεις Όιλερ, οι οποίες περιγράφουν ικανοποιητικά την κίνηση των υγρών στα πλαίσια της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας. Παρέχουμε ένα ικανό και αναγκαίο κριτήριο για τον σχηματισμό ιδιομορφιών στην (1+1)-διάστατη περίπτωση για συνεχώς διαφορίσιμα αρχικά δεδομένα. Επιπλέον, δίνουμε ένα κριτήριο σχηματισμού παγιδευμένων επιφανειών για το σύστημα Αϊνστάιν-Μάξγουελ, στα πλαίσια της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Αυτό είναι το πρώτο κρίσιμο-ως-προς-κλίμακα αποτέλεσμα παρουσία ύλης.