Non-isothermal falling film flows with variable viscosity: stability and non-uniform steady states

Abstract

This thesis presents analysis and computations of non-isothermal falling films flowing down an inclined, heated plane. We consider two types of wall heating: uniform and non-uniform. We examine the heat transfer of a viscoelastic liquid film with variable viscosity as it flows over a uniformly heated plane. The polymeric viscosity is modeled using the Oldroyd-B model, and, as the solvent viscosity, is temperature-dependent. The determination of the flow involves the numerical solution of the energy equation and Navier-Stokes. We continue with problems regarding Newtonian fluids and non-uniform heating. The flow and heat transport is modeled with a long-wave theory for small Brinkman numbers, and it leads to reduced systems of ODEs. Analytic solutions of the velocity, temperature, and shape of the surface for the basic flow and the next order are obtained. We carry out extensive numerical experiments and reveal the contribution of each parameter in the velocity and temperature profile, as well as in the deformation of the surface, for various heating conditions. We continue with numerical analysis of non-uniformly weak heated falling film for zero Brinkman number as well as for arbitrary values of it.The linear stability of a non-isothermal falling film with temperature-dependent viscosity over a uniformly heated, inclined plane is studied. We derive the system of equations: the non-isothermal analogue of the Orr -Sommerfeld equation coupled with the energy equation. We solve analytically the above system for small wavenumber and numerically for arbitrary values. Finally, we verify the model using isothermal and non-isothermal comparisons.

Η παρούσα διατριβή πραγματεύεται την ανάλυση και αριθμητική προσομοίωση ροών ρευστού μικρού πάχους με μεταβλητό ιξώδες σε θερμαινόμενες κεκλιμένες επιφάνειες απείρου μήκους που ρέουν υπό την επιρροή βαρυτικού πεδίου. Διερευνώνται δύο συνθήκες θέρμανσης επιπέδου: ομοιόμορφη και ανομοιόμορφη. Εξετάζεται η μεταφορά θερμότητας σε ιξωδοελαστικό ρευστό με μεταβλητό ιξώδες που ρέει σε ομοιόμορφα θερμαινόμενο επίπεδο. Το πλαστικό ιξώδες μοντελοποιείται βάσει του μοντέλου Oldroyd-B, ενώ το Νευτωνικό ιξώδες εξαρτάται από την θερμοκρασία. Η μαθηματική περιγραφή του συστήματος απαιτεί την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης ενέργειας και εξισώσεων κίνησης. Εν συνεχεία, προβλήματα που αφορούν Νευτωνικά ρευστά σε ανομοιόμορφα θερμαινόμενες επιφάνειες εξετάζονται. Η μεταφορά θερμότητας και η ρεολογική συμπεριφορά μοντελοποιούνται με χρήση μεγάλου μήκους κύματος για μικρούς αριθμούς Brinkman, οδηγεί σε σύστημα εκφυλισμένων συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Αναλυτικές λύσεις για τα πεδία ταχύτητας, θερμοκρασίας και μορφής επιφανείας παράγονται για την βασική ροή και επόμενη τάξη. Ακολουθούν αριθμητικές προσομοιώσεις για πλήθος συνθηκών θέρμανσης, σκιαγραφώντας την συνεισφορά κάθε παραμέτρου στα πεδία ταχύτητας, θερμοκρασίας ρευστού και παραμόρφωσης της επιφανείας. Συνεχίζουμε με την αριθμητική επίλυση συστημάτων ρευστών σε ήπια θερμαινόμενες επιφάνειες για μηδενικά αλλά και τυχαίες τιμές του αριθμού Brinkman, επιλύοντας συστήματα μερικών διαφορικών εξισώσεων. Η γραμμική ευστάθεια συστήματος ροών, ρευστού με ιξώδες εξαρτώμενο από την θερμοκρασία σε ομοιόμορφα θερμαινόμενη κεκλιμένη πλάκα απείρου μήκους εξετάζεται. Εξάγονται οι εξισώσεις περιγραφής συστήματος: το μη ισόθερμο ανάλογο της Orr-Sommerfeld συζευγμένου της εξίσωσης ενέργειας. Επιλύεται αναλυτικά το σύστημα για μικρές τιμές μήκους κύματος, και αριθμητικά για τυχαίες τιμές αυτού. Τέλος, ακολουθεί επαλήθευση των μοντέλων με άμεση σύγκριση με τις αναλυτικές λύσεις του ισόθερμου προβλήματος.