Geometry of multi-slit Loewner chains and semigroups of finite shift

Abstract

This thesis deals with two topics in complex analysis that are related to families of Riemann maps that depend on some parameter function called the driving function of the family. One is Loewner theory and the other is the theory of semigroups of holomorphic self-maps of the unit disc. This thesis consists of four works, three of which lie in the intersection of the two theories and the other one refers solely on semigroups. In Paper I, we deal with the Loewner equation both in the unit disc (the radial case) and in the upper half-plane (the chordal case). The solutions to these equations, which depend on the space and time variables, are called (radial or chordal) Loewner chains. Its main purpose is to present explicitly solutions to certain choices of driving functions and additionally visualize their geometry as time evolves. In particular, we deal with conformal maps with finitely many slits, for both cases. Thus, the aforementioned evolution involves the growth of multiple curves either in the unit disc or in the upper half-plane. Secondly, we discover the semigroup nature of these families, which we utilize in order to connect the radial with the chordal case through a Möbius transform, although in the general theory this is not always possible. The second paper is a continuation of Paper I, where we extend the study of the chordal Loewner chains of Paper I to chains with infinitely many slits. Again, we study the geometry of the chains as time evolves and we find the same geometric behaviour as in Paper I. However, this study is more complicated and requires a different approach that involves techniques from classical complex analysis and the use of the harmonic measure. In Paper III we are concentrated in a specific type of semigroups. We call those semigroups of finite shift. In the general theory of semigroups, several authors have studied the rate of convergence of a semigroup to the Denjoy-Wolff point, in terms of the Euclidean distance. In this direction, we also examine the rate of convergence for this case, in terms of the Euclidean distance, the hyperbolic distance and also in terms of the harmonic measure. In Paper IV, we present some computational examples of Loewner chains. Some of them are related to those appearing in Papers I and II. We work similarly in the sense that we solve the Loewner equation for some certain driving functions. In addition, we have collected some Loewner chains that do not appear in the literature and we recover their driving functions. Our intention is to visualize these elementary examples in an effort to compare the geometry of the chains with their driving functions.

Η παρούσα διατριβή πραγματεύεται δύο θέματα Μιγαδικής ανάλυσης που σχετίζονται μεοικογένειες συναρτήσεων Riemann που εξαρτώνται από κάποια παραμετρική συνάρτηση που ονομάζεταιη καθοδηγητική συνάρτηση της οικογένειας. Το ένα είναι η θεωρία Loewner και το άλλο είναιη θεωρία ημιομάδων ολομορφικών συναρτήσεων του μοναδιαίου δίσκου. Αυτήη διατριβή αποτελείται από τέσσερα έργα, τα τρία από τα οποία βρίσκονται στη διασταύρωση τωνδύο θεωριών και η άλλη αναφέρεται αποκλειστικά σε ημιομάδες.Στο Paper I, ασχολούμαστε με την εξίσωση Loewner τόσο στον μοναδιαίο δίσκο (ακτινική περίπτωση) και στο άνω ημιεπίπεδο (χορδική περίπτωση). Οι λύσειςσε αυτές τις εξισώσεις, οι οποίες εξαρτώνται από τις μεταβλητές του χώρου και του χρόνου, είναιπου ονομάζονται (αντίστοιχα ακτινικές ή χορδικές) αλυσίδες Loewner. Κύριος σκοπός του είναι να παρουσιάσειρητά, λύσεις για ορισμένες επιλογές οδηγικών λειτουργιών και επιπλέοννα οπτικοποιήσει τη γεωμετρία τους καθώς εξελίσσεται ο χρόνος. Ειδικότερα, ασχολούμαστε μεσύμμορφες απεικονίσεις με πεπερασμένα πολλές σχισμές, και για τις δύο περιπτώσεις. Έτσι, η παραπάνω εξέλιξη περιλαμβάνει την ανάπτυξη πολλαπλών καμπυλών είτε στομοναδιαίο δίσκο ή στο άνω ημι-επίπεδο. Δεύτερον, ανακαλύπτουμε τη σύνδεση αυτών των οικογενειών με τη θεωρία των ημιομάδων, τις οποίες αξιοποιούμε για να συνδέσουμε την ακτινωτήμε τη χορδιακή περίπτωση μέσω ενός μετασχηματισμού Möbius, αν και στη γενικήθεωρία αυτό δεν είναι πάντα δυνατό.Το δεύτερο Paper είναι συνέχεια του Paper I, όπου επεκτείνουμε τομελέτη των χορδικών αλυσίδων Loewner του Paper I σε αλυσίδες με άπειραπολλές σχισμές. Και πάλι, μελετάμε τη γεωμετρία των αλυσίδων καθώς ο χρόνος εξελίσσεταικαι βρίσκουμε την ίδια γεωμετρική συμπεριφορά όπως στο Paper I. Ωστόσο αυτόΗ μελέτη είναι πιο περίπλοκη και απαιτεί διαφορετική προσέγγιση που περιλαμβάνειτεχνικές από την κλασική σύνθετη ανάλυση και τη χρήση της αρμονικήςμέτρο. Στο Paper III συγκεντρωνόμαστε σε συγκεκριμένο τύπο ημιομάδων. Kαλέστε αυτές τις ημιομάδες, ημιομάδες πεπερασμένης μετατόπισης. Στη γενική θεωρία των ημιομάδων,αρκετοί συγγραφείς έχουν μελετήσει την ταχύτητα σύγκλισης μιας ημιομάδας προςτο σημείο Denjoy-Wolff, ως προς την Ευκλείδεια απόσταση. Προς αυτή την κατεύθυνση,εξετάζουμε επίσης την ταχύτητα σύγκλισης για αυτή την περίπτωση, ως προςτην Ευκλείδεια απόσταση, την υπερβολική απόσταση και επίσης ως προς τοαρμονικό μέτρο. Στο Paper IV, παρουσιάζουμε μερικά υπολογιστικά παραδείγματα αλυσίδων Loewner. Μερικά από αυτά σχετίζονται με αυτά που εμφανίζονται στα Paper I και II. Δουλεύουμεομοίως με την έννοια ότι λύνουμε ρητά την εξίσωση Loewner για διάφορες περιπτώσεις κοθοφηγητικών συναρτήσεων. Επιπλέον, έχουμε συγκεντρώσει μερικές αλυσίδες Loewnerπου δεν εμφανίζονται στη βιβλιογραφία και ανακτούμε τις καθοδηγητικές συναρτήσεις. Πρόθεσή μας είναι να οπτικοποιήσουμε αυτά τα στοιχειώδη παραδείγματα σε μια προσπάθειανα συγκρίνουμε τη γεωμετρία των αλυσίδων με τις αντίστοιχες καθοδηγητικές συναρτήσεις τους.