The L^p-spectrum of the laplacian on forms over warped products and Kleinian groups

Abstract

In this thesis, we generalize the set of manifolds over which the L^p-spectrum of the Laplacian on k-forms depends on p. In the first part, we consider warped products at infinity, and we prove that the L^p-spectrum of the Laplacian on k-forms contains a parabolic region which depends on k, p and the limiting curvature a_0 at infinity. In the second part, we consider manifolds M which are quotients of the hyperbolic space with a geometrically finite group, and such that M has infinite volume and no cusps. We prove that the L^p-spectrum of the Laplacian on k-forms over M is exactly a parabolic region together with a set of isolated eigenvalues on the real line.

Στην παρούσα διατριβή, γενικεύουμε το σύνολο των πολλαπλοτήτων για τις οποίες το L^p-φάσμα της Λαπλασιανής σε k-μορφές εξαρτάται από το p. Στο πρώτο μέρος, θεωρούμε γινόμενα πολλαπλότητες των οποίων η μετρική είναι στρεβλωμένο γινόμενο στο άπειρο και αποδεικνύουμε ότι το L^p-φάσμα της Λαπλασιανής σε k-μορφές περιέχει ένα παραβολικό χωρίο το οποίο εξαρτάται από τα k, p και την οριακή καμπυλότητα a_0 στο άπειρο. Στο δεύτερο μέρος, θεωρούμε πηλίκα του υπερβολικού χώρου Μ με την ομάδα πηλίκο να είναι γεωμετρικά πεπερασμένη έτσι ώστε η Μ να έχει άπειρο όγκο και να μην έχει ακίδες. Αποδεικνύουμε ότι το L^p-φάσμα της Λαπλασιανής σε k-μορφές είναι ακριβώς ένα παραβολικό χωρίο μαζί με ένα σύνολο από μεμονωμένες ιδιοτιμές της πραγματικής ευθείας.