Image estimation and uncertainty quantification

Abstract

Recorded images are usually contaminated by blur and noise. The restoration of such altered images is an ill-posed problem. Even if the blur is known, the unknown noise leads to uncertainty in the restored image. The naive restoration approach fails since it contains a lot of noise at high frequencies that destroys the computed restored image. To remedy this problem, this work focuses on the computation of the restored image by using spectral filters that give weight to components of the image that are not so contaminated by noise. We use different filtering methods such as the Truncated Tikhonov, Truncated SVD, and new methods that we created here and we seek to find a near optimal choice of the filter parameter which will give the best approximation of the original image. We define and compute the Picard Parameter when the problem satisfies the Discrete Picard Condition, and with that we estimate the noise properties. Also, we develop a new method to compute the near optimal solution by using statistical analysis which also gives us a way to estimate the error of the solution, a way to quantify uncertainty.

Οι καταγεγραμμένες εικόνες συνήθως αλλοιώνονται από θαμπάδα και θόρυβο. Η αποκατάσταση τέτοιων αλλοιωμένων εικόνων είναι ένα δυσάρεστο πρόβλημα. Ακόμα κι αν η θόλωση είναι γνωστή, η Ο άγνωστος θόρυβος οδηγεί σε αβεβαιότητα στην εικόνα που έχει αποκατασταθεί. Η απλή προσέγγιση αποκατάστασης αποτυγχάνει αφού περιέχει πολύ θόρυβο στις υψηλές συχνότητες που καταστρέφει την υπολογισμένη αποκατεστημένη εικόνα. Για την επίλυση αυτού του προβλήματος, αυτή η εργασία επικεντρώνεται στον υπολογισμό της αποκατασταθείσας εικόνας χρησιμοποιώντας φασματικά λίτρα που δίνουν βάρος στα εξαρτήματα της εικόνας που δεν είναι τόσο μολυσμένα από το θόρυβο. Χρησιμοποιούμε διαφορετικές μεθόδους μέτρησης όπως η Περικομμένη Tikhonov, η Περικομμένη SVD και νέες μεθόδους που εμείς που δημιουργήσαμε εδώ και επιδιώκουμε να βρούμε μια σχεδόν βέλτιστη επιλογή της παραμέτρου του φίλτρου η οποία θα δώσει την καλύτερη προσέγγιση της αρχικής εικόνας. Δίνουμε και υπολογίζουμε την Παράμετρο Picard όταν το πρόβλημα ικανοποιεί τη Διακριτή Συνθήκη Picard και με αυτή υπολογίζουμε τις ιδιότητες του θορύβου. Επίσης, αναπτύσσουμε μια νέα μέθοδο υπολογισμού της σχεδόν-βέλτιστης λύσης με τη χρήση στατιστικής ανάλυσης που μας δίνει επίσης έναν τρόπο να εκτιμηθεί το σφάλμα της λύσης που είναι ένας τρόπος ποσοτικοποίησης της αβεβαιότητας.