Selberg and Ruelle zeta functions on compact hyperbolic odd dimensional manifolds

Abstract

In this thesis we study the Selberg and Ruelle zeta functions on compact oriented hyperbolic manifolds X of odd dimension d. These are dynamical zeta functions associated with the geodesic flow on the unite sphere bundle S(X). Throughout this thesis we identify X with Γ\G/K, where G = SO^{0}(d, 1), K = SO(d) and Γ is a discrete torsion-free cocompact subgroup of G. Let G = KAN be the Iwasawa decomposition with respect to K. Let M be the centralizer of A in K. For an irreducible representation σ of M and a finite dimensional representation χ of Γ, we define the Selberg zeta function Z(s;σ,χ) and the Ruelle zeta function R(s; σ, χ). We prove that they converge in some half-plane Re(s) > c and admit a meromorphic continuation to the whole complex plane. We also describe the singularities of the Selberg zeta function in terms of the discrete spectrum of certain differential operators on X. Furthermore, we provide functional equations relating their values at s with those at −s. The main tool that we use is the Selberg trace formula for non-unitary twists. We generalize results of Bunke and Olbrich to the case of non-unitary representations χ of Γ.

Σε αυτή τη διατριβή μελετάμε τις συναρτήσεις ζήτα Selberg και Ruelle σε συμπαγείς προσανατολισμένες υπερβολικές πολλαπλότητες X περιττής διάστασης d. Αυτές είναι δυναμικές συναρτήσεις ζήτα που σχετίζονται με τη γεωδαισιακή ροή στη μοναδιαία εφαπτόμενη δέσμη S(X). Στην διατριβή, ταυτοποιούμε την πολλαπλότητα X με Γ\G/K, όπου G = SO^{0}(d, 1), K = SO(d) και Γ είναι μια διακριτή συνσυμπαγής υποομάδα χωρίς στρέψη του G. Έστω G = KAN η αποσύνθεση Iwasawa ως προς K. Έστω M ο κεντροποιητής του A στο K. Για μια ανάγωγη αναπαράσταση σ του M και μια πεπερασμένης διάστασης αναπαράσταση χ της Γ, ορίζουμε τη συνάρτηση ζήτα Selberg Z(s;σ,χ) και τη συνάρτηση ζήτα Ruelle R(s; σ, χ). Αποδεικνύουμε ότι συγκλίνουν σε κάποιο ημιεπίπεδο Re(s) > c και έχει μία μερομορφική συνέχιση σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. Περιγράφουμε επίσης τα σημεία ανωμαλίας της συνάρτησης ζήτα Selberg ως προς το διακριτό φάσμα ορισμένων διαφορικών τελεστών στη πολλαπλότητα X. Επιπλέον, αποδεικνύουμε συναρτησιακές εξισώσεις που συσχετίζουν τις τιμές τους στο s με αυτές στο −s. Το κύριο εργαλείο που χρησιμοποιούμε είναι ο τύπος ίχνους Selberg για μη oρθομοναδιαίες αναπαραστάσεις. Γενικεύουμε τα αποτελέσματα των Bunke και Olbrich στην περίπτωση των μη oρθομοναδιαίων αναπαραστάσεων χ της Γ.